Mathematische Miszellen. VIII: Funktionaldeterminanten und Abhängigkeit von Funktionen. (Q1445161)

Knopp und R. Schmidt (M. Z. 25 (1926), 373-381; F. d. M. 52) haben den folgenden Satz bewiesen: Zwei in einem beschränkten abgeschlossenen Bereich \(B\) der \(xy\)-Ebene und in einer gewissen Umgebung von \(B\) definierte und mit stetigen partiellen Ableitungen erster Ordnung versehene Funktionen \(u\), \(v\) sind dann und nur dann in \(B\) abhängig, wenn ihre Funktionaldeterminante durchweg auf \(B\) und in einer gewissen Umgebung von \(B\) verschwindet. Dabei heißen zwei Funktionen \(u(x, y)\), \(v(x, y)\) in \(B\) abhängig, wenn es eine in der ganzen \(uv\)-Ebene definierte stetige Funktion \(F(u,v)\) gibt, die in keinem Teilgebiet der \(uv\)-Ebene durchweg verschwindet, während \(F(u(x,y),v(x,y))\) in \(B\) durchweg verschwindet, und wenn außerdem \(F(u,v)\) durchweg stetige partielle Ableitungen erster Ordnung besitzt. Verf. beweist diesen Satz unter schärferen Voraussetzungen und gelangt zu folgendem Ergebnis: 1. Es seien \(u(x, y)\), \(v(x, y)\) im Innern eines beschränkten abgeschlossenen Bereiches \(B\) definiert, stetig und differentiabel. Sind \(u\), \(v\) in \(B\) abhängig, so verschwindet ihre Funktionaldeterminante \[ \frac{\partial(u, v)}{\partial(x,y)}= \left|\begin{matrix} u_x & v_x\\ u_y & v_y\end{matrix}\right| \] durchweg im Innern von \(B\). 2. Es seien \(u(x,y)\), \(v(x,y)\) in jedem Punkte eines beschränkten abgeschlossenen Bereiches \(B\) definiert, stetig und differentiabel, wobei in den Randpunkten von \(B\) die Differentiabilität nur relativ zu \(B\) vorausgesetzt zu werden braucht. Verschwindet die Funktionaldeterminante \[ \frac{\partial(u, v)}{\partial(x,y)} \] in jedem Punkte von \(B\), so sind \(u\), \(v\) abhängig in \(B\) mit einer unbegrenzt oft differenzierbaren Abhängigkeitsfunktion.