Über den Mittelwertsatz und die Taylorsche Formel. (Q1445164)

Verf. beschäftigt sich mit der Größe \(\vartheta_n\), die bei der Taylorschen Entwicklung der Differenz \(f(x+h)-f(x)\) im Lagrangeschen Restglied \[ R_n(x,h) =\frac{h^n}{n!} f^{(n)}(x + \vartheta_n h),\quad 0<\vartheta_n(x,h)<1 \] auftritt. Unter der Voraussetzung, daß die \((n+1)\)-te Ableitung von \(f(x)\) in der Umgebung der Stelle \(x\) existiert, an der Stelle \(x\) stetig und von Null verschieden ist, gilt die Formel \[ \lim_{h\to 0}\vartheta_n(x,h)=\frac1{n+1}. \] Im Fall \(f^{(n+1)}(x)=0\) ergibt sich die folgende Aussage: Ist \(f(x)\) in dem offenen Intervall \((a,b)\) mindestens \((n+p)\)-mal differenzierbar und an den Endpunkten des Intervalls stetig, ist ferner \[ \begin{aligned} & f^{(n+1)}(x)=\cdots=f^{(n+p-1)}(x)=0\\ \noalign{\noindent und\vskip-\baselineskip} &f^{(n+p)}(x)\neq 0 \;\text{und stetig an der Stelle \(x\), so ist} \end{aligned} \] \[ \lim_{h\to 0}\vartheta_n(x,h)=\frac{1}{\root p \of{ \binom{n+p}{p}}}. \] Ferner wird das Verhalten der Funktion \(\vartheta_n(x,h)\) für kleine \(h\) untersucht. -- Die Untersuchungen des Verf., die an eine Arbeit des Verf. (Zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung, 1921; F. d. M. 48, 250 (JFM 48.0250.*)-251) und an eine Arbeit von T. Hayashi (On the nature of \(\vartheta\) in the mean value theorem in differential calculus; Science Reports Tôhoku Univ. (1) 13 (1925), 386-390; F. d. M. 51) anknüpfen, sollen in ausführlicherer Darstellung im Tôhoku Math. Journ. erscheinen.