Proof of the conditions for a turning value of \(f(x,y)\) without the use of Taylor's theorem. (Q1445167)

Ob die Funktion \(z=f(x,y)\) an der Stelle \((x_1,y_1)\) einen Extremwert hat. wird im allgemeinen dadurch entschieden, daß man \(z=f(x,y)\) in eine Taylorsche Reihe entwickelt. Verf. behandelt dieses Problem auf eine andere Art. Er legt durch den fraglichen Punkt alle zur \(z\)-Achse parallelen Ebenen. Jede schneidet die Fläche \(z=f(x,y)\) in einer Kurve \(z=\varphi(\xi)\), wobei die \(\xi\)-Achse die Schnittlinie der jeweiligen Schnittebene mit der \(xy\)-Ebene ist. Es wird der Satz bewiesen: Die hinreichende und notwendige Bedingung dafür, daß die Fläche an der Stelle \((x_1, y_1)\) ein Maximum hat, lautet: Die Kurven \(z =\varphi(\xi)\) müssen sämtlich an dieser Stelle ein Maximum haben. -- Entsprechendes gilt für Minimum.