On the differentiability of a certain type of integral function. (Q1445193)

Es sei eine Integralfunktion \[ F(x)=\int\limits_0^x f(t)dt \] vorgegeben, deren Integrand in einem Punkt eine Unstetigkeit zweiter Art hat, und zwar soll der Integrand in der Nähe dieses Punktes unendlich oft zwischen \(+\infty\) und \(-\infty\) oscillieren. Verf. untersucht für gewisse Typen solcher Integralfunktionen \(F(x)\), ob in dem Unstetigkeitspunkt der Differentialquotient \(F'(x)\) existiert. Es werden zunächst zwei spezielle Fälle behandelt: 1. Es sei \(f(t)=\sin\dfrac{1}{\sin\dfrac 1t}\). Dann existiert \(F'(0)\), und es ist \(F'(0)=0\). 2. Es sei \(f(t)=\sin^2\left\{\log\left(\sin^2\left(\log\dfrac1{t^2}\right)\right)\right\}\). Dann existiert \(F'(0)\) nicht. Darauf werden entsprechende Sätze für die Integranden \[ f(t)= \sin\frac1{\,\sin {\smash{\rlap{\(\dfrac{\smash1}{\,\sin {\smash{\rlap{}\dfrac{\smash1}{\phantom{\vrule width0pt height3.4ex}\smash{\displaystyle {\kern0.7em\ddots\kern-0.3em}\atop \smash{\rlap{\phantom{}\sin}}}\sin\smash{\dfrac1t}}}}}\)\(\)}}}\(\)} \]