Ancora sull'area di una superficie curva. (Q1445205)

Nach einer kurzen Kritik der Definitionen des Inhaltes einer Fläche, wie sie von Sturm-Dini, Hermite, Peano und Minkowski gegeben wurden, betont Severi die Notwendigkeit, zur Definition des Flächeninhaltes erstens den ursprünglichen Begriff der Ausdehnung einer Fläche zu übernehmen und zweitens irgendeine Festsetzung über den Vergleich von Flächen zu treffen. -- Der Kern des Problems liegt darin, daß es leicht ist, einer gegebenen konkav-konvexen Fläche mit Hilfe von Festsetzungen von absoluter Evidenz eine ebene Fläche zuzuteilen, die kleiner ist, als jene, während es wesentlich schwieriger ist, ihr eine ebene Fläche entsprechen zu lassen, die größer ist, als die gegebene, aber mit ihr verschwindet. Auf zwei verschiedene Arten wird versucht, die Frage zu lösen. a) Durch die Festsetzung: Wenn zwei Flächen \(S\) und \(S'\) sich derartig gegenseitig entsprechen, daß zwei Kurvenscharen auf \(S\) zwei analoge Kurvenscharen auf \(S'\) entsprechen, während die Winkel zweier Kurven der ersten Schar nicht kleiner sind als die Winkel entsprechender Kurven der zweiten, dann sei auch die erste Fläche nicht kleiner als die zweite. b) Durch die Festsetzung: Wenn polyedrische Flächen nur einen kleinen Gesamtabstand (scarto totale) von der Fläche \(S\) haben, so unterscheidet sich ihre Ausdehnung nur sehr wenig von der von \(S\). Ausgehend von a) oder auch von b) gelangt man zu einer neuen Definition des Flächeninhaltes von \(S\) durch ein Doppelintegral. Zunächst wird in einem speziellen Fall gezeigt, daß auf Grund von a) der Flächeninhalt einer Fläche durch die Gleichung \[ S = \iint\limits_R|P^{\prime}_u\land P^{\prime}_v|dudv \tag{1} \] ausgedrückt wird, wobei \(P(u,v)\) die Fläche \(S\) erzeugt, während \((u,v)\) sich auf einer ebenen Fläche \(R\) bewegt und \(P^{\prime}_u\) und \(P^{\prime}_v\) die partiellen Ableitungen bedeuten. Sodann gelangt man im allgemeinen Fall zu dem Satz, daß die obere Grenze des Flächeninhaltes der der Fläche \(S\) eingeschriebenen polyedrischen Flächen \[ \bar{S}=\iint\limits_R|P^{\prime}_u\land P^{\prime}_v|dudv \tag{2} \] ist. Schließlich findet man dann ebenfalls allgemein auf Grund der Festsetzung b), daß der Flächeninhalt \(S\) der Fläche gleich \(\bar S\), die Formel (1) also allgemein gültig ist: Der Flächeninhalt von \(S\) ist der Grenzwert der Inhalte der polyedrischen Flächen, deren Gesamtabstand (scarto totale) kleiner als \(\varepsilon\) ist. wenn \(\varepsilon\to 0\) strebt.