The most general closed point set over which continuous function may be defined by certain properties. (Q1445248)

C. H. Rowe (Bulletin A. M. S. 32 (1926), 285-287; F. d. M. 52) konnte die in einem offenen beschränkten Bereich \(R\) definierten stetigen Funktionen \(f\) charakterisieren durch die folgenden beiden Bedingungen: 1. \(f\) ist längs jeder Kurve in \(R\) stetig; 2. die Menge der Punkte, wo \(f = \text{const}\) ist, ist relativ \(R\) abgeschlossen. Für nicht offene Mengen \(R\) ergaben sich Schwierigkeiten bei der Behandlung der Randpunkte. Der Verf. beweist: der Rowesche Satz gilt 1. für abgeschlossene Mengen \(R\) dann und nur dann, wenn \(R\) im kleinen zusammenhängend ist; 2. für beliebige Mengen \(R\) jedenfalls dann, wenn \(R\) bogenweise (arcwise) zusammenhängend im kleinen ist (d. h: zu jedem Punkt \(P\) in \(R\) und einer positiven Zahl \(\varepsilon\) gibt es ein \(\delta_\varepsilon\), so daß jeder in einer \(\delta_\varepsilon\)-Umgebung von \(P\) gelegene Punkt von \(R\) mit \(P\) durch einen einfachen Bogen in \(R\) verbunden werden kann, dessen Durchmesser kleiner ist als \(\varepsilon\)).