A theorem on Lebesgue integrals. (Q1445260)

Beweis des Satzes: Wenn \(f(x)\) auf dem Intervall \((a - \delta, \;b +\delta)\) im Lebesgueschen Sinne integrierbar ist und wenn für \(h \to 0\) \[ \int\limits_a^b|f(x+h)-f(x)|\,dx=o(h) \] ist, dann läßt sich eine Konstante \(c\) so angeben, daß \(f(x)\) für fast alle \(x\) gleich \(c\) ist. Verf. gibt zwei Beweise, die beide benutzen, daß \[ \int\limits_\xi^{\xi+h}|f(x)-f(\xi)|\,dx=o(h) \] für fast alle \(\xi\) ist. Während der erstere Beweis nur benutzt, daß diese auf Lebesgue zurückgehende Beziehung für einen einzigen Wert \(\xi\) besteht, wird sie bei dem zweiten in voller Schärfe verwendet.