Recherches sur la structured des fonctions mesurables. II. (Q1445262)

Fortsetzung einer gleichbetitelten Albeit des Verf. (1923; F. d. M. 49, 178 (JFM 49.0178.*)). -Im vorliegenden Teil werden gewisse Verallgemeinerungen des Differentiationsprozesses verglichen, wobei es sich immer um die Ableitung meßbarer Funktionen handelt, was im Folgenden nicht mehr besonders erwähnt wird. Es werden in Betracht gezogen außer der gewöhnlichen Ableitung (g. A.) die symmetrische Ableitung \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\int_0^h\dfrac{F(x+h)-F(x-h)}{h}\) (s. A.), die mittlere Borelsche Ableitung \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\int_0^h\dfrac{F(x+t)-F(x)}{t}dt\) (m. A.) und vor allem die asymptotische Ableitung von Denjoy und Khintchine (a. A.), welche in der Umgebung eines Werts \(x_0\) eine Menge der Dichte 0 beiseite läßt, um in der Restmenge die Existenz der Ableitung für \(x = x_0\) zu verlangen. Dasselbe asymptotische Verfahren führt zu der ``verallgemeinerten'' Ableitung (v. A.) \(f(x)\) von \(F(x)\), welche im Intervall statt im Punkt erklärt wird: Es soll für jedes \(\varepsilon > 0\) das Maß der im Intervall liegenden Menge \(E \biggl (\biggl|\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)\biggr|>\varepsilon \biggr)\) zugleich mit \(h\) nach 0 gehen (so daß \(f(x)\) nur bis auf eine willkürliche Nullmenge durch \(F(x)\) bestimmt wird). Es werden getrennt die Eigenschaften, die I. für jeden Punkt gültig sind von denen, die II. nur fast überall gelten. I. Das Theorem von Rolle gilt nicht für die s. A., nur bei stetigem \(F(x)\) für die m. A. und immer für die a. A. (letzteres, ohne Beweis in der 1. Note ausgesprochen, ist für unstetige \(F(x)\) mühsam zu zeigen). -- Bei der s. A. und m. A. bewirkt das Verschwinden der Ableitung im Intervall bei stetigem \(F(x)\), daß \(F(x)= \text{const}\) wird. -- Das Produkt von zwei Funktionen mit m. A. hat nicht notwendig eine m. A. -- Es werden Beziehungen der m. A. zur 2. Schwarzsehen Ableitung aufgewiesen. -- \(F(x)\) hat im Intervall eine a. A. dann und nur dann, wenn \(F(x)\) bis auf eine Menge von beliebig kleinem positivem Maß mit einer stetigen Funktion von beschränkter Schwankung übereinstimmt (\(F(x)\) stimmt dann sogar mit einer totalstetigen Funktion ebendort überein). Über die Beziehung zwischen a. A. und g. A. wird bewiesen, daß eine überall im Intervall existierende a. A. \(f(x)\) von \(F(x)\) die Existenz der g. A. im ganzen Intervall dann und nur dann nach sich zieht, wenn \(f(x) < \varphi(x)\) ist, wo \(\varphi (x)\) eine g. A. ist (z. B. wenn die a. A. \(f(x)\) wenigstens einseitig beschränkt ist). (Der Satz ohne Beweis steht in C. R. 164 (1917), 142-144; F. d. M. 46, 381 (JFM 46.0381.*).) II. Bei Vernachlässigung einer Nullmenge im Definitionsbereich ist die s. A. keine Verallgemeinerung gegenüber der g. A., wohl aber die m. A., ebenso wie die a. A. eine Verallgemeinerung gegenüber der m. A., und die v. A. gegenüber der a. A. ist. Immerhin gibt es Funktionen (sogar stetige), die keine v. A. besitzen.