Sur la possibilité de certaines opérations de dérivabilité. (Q1445268)

Es sei \(F(E)\) eine durchweg positive Mengenfunktion, definiert für alle meßbaren Teilmengen \(E\) einer meßbaren Menge \(\bar{E}\); \(F(E)\) habe für jede Teilmenge vom Maß Null den Wert Null. Die Menge \(\bar{E}\) liege innerhalb einer Menge \(\bar{E}+\varOmega\), die ebenfalls meßbar ist, und deren Maß dem Maße von \(\bar{E}\) unendlich nahe benachbart ist. Es seien nun \(C_1\) und \(C_2\) zwei Kreisflächen, die Teilmengen von \(\bar{E}\) sind und keinen Punkt gemeinsam haben. Ihre Mittelpunkte seien \(M_1\) und \(M_2\), ihre Radien \(\varrho_1\) und \(\varrho_2\). Verf. beweist den Satz: Sind \(J(C_1)\) und \(J(C_2)\) die Flächeninhalte der beiden Kreise, bleibt ferner für jedes Kreispaar \(C_1\) und \(C_2\) mit den genannten Eigenschaften die Größe \[ A =\biggl|\dfrac{F(C_2)}{J(C_2)}-\dfrac{F(C_1)}{J(C_2)}\biggr| \] unterhalb einer festen Zahl \(K\) und kann schließlich die Größe \(A\) durch die Wahl von \(\varrho_1\) und \(\varrho_2\) kleiner gemacht werden als eine gegebene positive Zahl \(\varepsilon\), unter der einzigen Bedingung, daß der Abstand \(M_1M_2\) der Kreismittelpunkte unterhalb einer gewissen Zahl \(\eta(\varepsilon)\) liegt, so hat \(F(E)\) eine stetige Ableitung \(f(P)\) auf jeder regulären Mengenfamilie und umgekehrt. -- Im Anschluß werden einige Anwendungen dieses Satzes gezeigt.