A new definition of almost periodic functions. (Q1445296)

Verf. nennt eine reelle Funktion \(\varphi(x)\) ``regulär'', wenn \[ \lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau}\int_{-\tau}^{+\tau}\varphi(x) \,\varphi(x-\tau)\,d\tau \] für jedes reelle \(x\) existiert; eine komplexe Funktion heißt regulär, wenn ihr reeller und imaginärer Teil für sich regulär sind. Verf. beweist den folgenden, einen neuen Zugang zur Theorie der fastperiodischen Funktionen eröffnenden Satz: \(f(x)\) ist dann und nur dann fastperiodisch, wenn \(f(x)\) regulär ist, und wenn sich zu jedem \(\varepsilon>0\) eine reguläre reelle Funktion \(\varphi_\varepsilon(x)\) so angeben läßt, daß \[ g_\varepsilon(x)=\lim_{\tau\to\infty}\frac{1}{2\tau} \int_{-\tau}^{+\tau}(f(x-\xi)\,\varphi_\varepsilon(\xi)\,d\xi \] für jedes \(\varepsilon\) existiert, und daß für \(-\infty<x<+\infty\) \[ |\,f(x)-g_\varepsilon(x)\,|<\varepsilon \] ist.