Über die Bausteine in der Theorie der fastperiodischen Funktionen. (Q1445297)

Verf. führt zwei Begriffe, den der \textit{scharfen} Konvergenz im Mittel und den der \textit{Wellenfunktion}, ein: Eine Folge für \(-\infty<x<+\infty\) stetiger Funktionen \(f_1(x)\),\dots, \(f_n(x)\),\dots heißt im \textit{Mittel} \textit{scharf} \textit{konvergent}, wenn sich zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(L>0\) und eine natürliche Zahl \(n\) so angeben lassen, daß \[ \frac{1}{L}\int_x^{x+L}|\,f_p(\xi)-f_q(\xi)\,|^2\,d\xi\leqq\varepsilon \] ist für alle \(p\geqq n\), \(q\geqq n\) und für alle \(x\). Die für \(-\infty<x<\infty\) stetige Funktion \(f(x)\) heißt eine \textit{Wellenfunktion}, wenn 1. sich zu jedem Paar \(\varepsilon>0\), \(\vartheta>0\) ein \(l(\varepsilon,\vartheta)>0\) und ein \(L(\varepsilon,\vartheta)>0\) und darauf zu jedem Intervall der Länge \(l\) ein \(\tau\) so angeben lassen, daß \[ |\,f(\xi+\tau)-f(\xi)\,|\leqq\varepsilon \] \textit{wesentlich} überall, d. h. bei jedem einzelnen \(\tau\) in jedem Intervall \(x<\xi<x+L\) höchstens bis auf eine Menge \(\mathfrak P\) vom Maße \(|\,\mathfrak P\,|\leqq\vartheta L\), erfüllt ist, und wenn 2. sich zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(\vartheta(\varepsilon)>0\) und \(L(\varepsilon)>0\) so angeben lassen, daß für jede Teilmenge \(\mathfrak Q\) eines beliebigen Intervalls \(x<\xi<x+L\) vom Maß \(|\,\mathfrak Q\,|\leqq \vartheta L\) die Beziehung \[ \frac{1}{L}\int_{\mathfrak Q}|\,f(\xi)^2\,|\,d\xi\leqq\varepsilon \] besteht. Jede fastperiodische Funktion ist eine Wellenfunktion; der Begriff der scharfen Konvergenz im Mittel ist enger als der in der Theorie der fastperiodischen Funktionen gebräuchliche Begriff der Konvergenz im Mittel. Die beiden vom Verf. eingeführten Begriffe passen insofern zueinander, als sich zu jeder im Mittel scharf konvergierenden Folge von Wellenfunktionen eine Wellenfunktion angeben läßt, gegen die die Folge im Mittel scharf konvergiert. Verf. hat die von H. Bohr in der ersten Abhandlung ``Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen'' (Acta Math. 45 [1925], 29-107; F. d. M. 51) entwickelte Theorie der fastperiodischen Funktionen in ihren wesentlichen Teilen auf Wellenfunktionen übertragen.