Note on orthogonalising series of functions and interpolation. (Q1445377)

Verf. beschäftigt sich mit der folgenden Interpolationsaufgabe: Von der Funktion \(y = y(x)\) sind an den Stellen \(x_1,\ldots, x_n\) die Werte \(y_1,\ldots, y_n\) mit den Gewichten \(p_1,\ldots, p_n\) durch Beobachtung bekannt; das System der Zahlen \[ x_\nu, y_\nu, p_\nu \qquad (\nu = 1,2,\ldots,n) \tag{1} \] wird als die ``Basis der Interpolation'' bezeichnet. Ferner sei \[ u_0(x), u_1(x), \ldots, u_k(x) \tag{2} \] ein gegebenes Funktionssystem. Es sind die Zahlen \(a_1,\ldots, a_k\) so zu bestimmen, daß der Ausdruck \[ S = \sum\limits_{\nu =1}^n p_\nu \left( y_\nu \sum\limits_{\varkappa = 0}^k a_\varkappa u_\varkappa (x)\right)^2 \tag{3} \] ein Minimum wird. Verf. gibt eine Lösung der Aufgabe mit Hilfe der ``Ortbogonalisierung der Funktionen (2) auf der Basis \((x, p)\)''; er versteht darunter die Bestimmung eines Systems von Funktionen \[ \varPhi_0(x), \varPhi_1(x),\ldots, \varPhi_k(x), \tag{4} \] deren jede eine lineare homogene Verbindung von (2) ist: \[ \varPhi_\varkappa (x) = \sum\limits_{\lambda =0}^k b_{\varkappa\lambda}u_\lambda (x) \qquad (\varkappa = 0,1,\ldots, k), \tag{5} \] und die den Relationen \[ \sum\limits_{\nu =1}^n p_\nu\varPhi_\varkappa (x_\nu ) \varPhi_\lambda (x_\nu) = 0 \text{ bzw. } 1 \text{ für } \varkappa\neq\lambda \text{ bzw. für } \varkappa = \lambda \tag{6} \] genügen. Als Beispiel wird der Fall \[ u_\varkappa (x) = x^\varkappa \qquad (\varkappa = 0,1,\ldots, k) \] behandelt, der auf die parabolische Interpolation von Tschebyscheff führt.