Note on Chebysheff's interpolation formula. (Q1445379)

Verf. gibt zunächst einen kurzen Überblick über die Arbeiten Tschebyscheffs zur Theorie der Interpolation und beschäftigt sich dann eingehender im Anschluß an eine Arbeit von K. Pearson (On a general method of determining the successive terms in a skew regression line; Biometrika 13 (1921), 296-300) mit einem Interpolationsproblem mit der Basis \(x_\nu, y_\nu, p_\nu\) (\(v = 1,\ldots, n\)). (Wegen der Bezeichnungen vgl. die vorstehend referierte Arbeit.) Bedeutet \(\psi_\varkappa (x)\) ein gegebenes Polynom \(\varkappa\)-ten Grades in \(x\), und wird \[ P_\lambda (x) = k_0\psi_0 (x) + k_1\psi_1 (x)+ \cdots + k_\lambda\psi_\lambda (x) \qquad (\lambda = 0,1,\ldots, n-1) \] gesetzt, so sind die Zahlen \(k_\lambda\) so zu bestimmen, daß \[ \sum\limits_{\nu =1}^n p_\nu (y_\nu - P_\lambda (x_\nu ))^2 \] ein Minimum ist für \(\lambda = 0, 1,\ldots, n- 2\) und gleich Null für \(\lambda = n - 1\). Bilden die \(\psi_\varkappa (x)\) ein Orthogonalsystem im Sinne der Formel (6) des vorstehenden Referats, so erhält man \[ k_\lambda = \frac{\sum p_nu y_\nu\psi_\nu (x_\nu )}{\sum p_nu \psi_\nu^2 (x_\nu )}. \] Es werden dann die von Pearson (1. c.) gewählten Polynome \(\psi_\varkappa (x)\) näher untersucht. Einige numerische Beispiele werden durchgeführt.