Die überall regulären unbegrenzten Flächen fester Krümmung. (Q1445480)

Die betrachteten Flächen sind die zweidimensionalen Clifford-Kleinschen Raumformen, also abstrakte metrische Flächen, deren Metrik im Kleinen euklidisch, sphärisch oder hyperbolisch ist. Sie werden axiomatisch eingeführt und mittels topologisch-elementargeometrischer Betrachtungen sehr gründlich untersucht und beschrieben. Dabei werden teils bereits bekannte, teils neue Resultate gewonnen und ausführlich dargestellt. Von den bekannten seien der Klein-Killingsche Satz genannt, daß jeder Raumform eine eigentlich-diskontinuierliche, fixpunktfreie Bewegungsgruppe der betreffenden euklidischen oder nichteuklidischen Ebene entspricht und umgekehrt, sowie die vollständige Aufzählung der (endlich vielen) euklidischen und sphärischen Raumformen. Die neuen Resultate betreffen die hyperbolischen Raumformen mit endlicher Charakteristik (die Übertragbarkeit der Sätze auf Flächen mit unendlicher Charakteristik wird angedeutet). Es wird gezeigt: die Raumform läßt sich durch eine endliche Anzahl zueinander fremder, einfach geschlossener geodätischer Linien in ``Elemente'' zerlegen, die selbst berandete Raumformen sind, und deren Geometrie vollständig beschrieben werden kann; man hat unendliche und endliche Elemente zu unterscheiden; die unendlichen Elemente sind homöomorph der durch einen Breitenkreis berandeten Hälfte eines Kreiszylinders; die endlichen Elemente sind homöomorph dem ebenen Bereich mit drei Randkreisen (hier als ``Doppelsechseck'', von anderer Seite gelegentlich als ``Badehose'' bezeichnet); die endlichen Elemente zusammen bilden den ``Binnenteil'' der Fläche; er enthält alle geschlossenen geodätischen Linien der Fläche und ist, nach Fortlassung seiner Ränder, der ganzen Fläche homöomorph. (V 1,V 6 C.)