Über nulldimensionale Punktmengen. (Q1445513)

Die betrachteten nulldimensionalen Punktmengen -- im folgenden kurz als \(P^0\) bezeichnet -- sind die nulldimensionalen metrisierbaren separablen topologischen Räume. Ist eine \(P^0\) kompakt, so wird sie ``(absolut) abgeschlossen'', ist sie in keinem Punkte kompakt (d. h. ist die abgeschlossene Hülle keiner Umgebung irgend eines Punktes kompakt), so wird sie ``nirgends abgeschlossen'' genannt. Die Hauptergebnisse sind: In jeder unendlichen \(P^0\) gibt es eine abzählbare Basis \(B\) von Gebieten (d. h. eine solche Menge von Gebieten, daß jedes Gebiet in \(P^0\) Vereinigungsmenge einer Teilmenge von \(B\) ist) mit folgenden Eigenschaften: 1. zwei Gebiete von \(B\) sind entweder zueinander fremd oder das eine von ihnen ist in dem anderen enthalten; 2. es gibt keine unendliche Folge wachsender zu \(B\) gehöriger Gebiete. -- Eine \(P^0\) ist dann und nur dann (absolut) abgeschlossen, wenn es nicht möglich ist, sie in unendlich viele zueinander fremde Teilgebiete zu spalten. -- Eine \(P^0\) ist dann und nur dann nirgends abgeschlossen, wenn sie sich eineindeutig und stetig auf eine überall dichte Teilmenge des Linearkontinuums abbilden läßt. Ist eine nirgends abgeschlossene \(P^0\) überdies ``vollständig'' (d. h. läßt sie sich so metrisieren, daß das Cauchysche Konvergenzkriterium gilt), so läßt sich als die eben genannte lineare Menge die Menge aller Irrationalzahlen wählen. -- Es werden ferner \(G_{\delta}\)- und \(F_{\sigma}\)-Mengen betrachtet; sie werden als ``absolut'' bezeichnet, falls sie \(G_{\delta}\)- bzw. \(F_{\sigma}\)-Mengen in kompakten metrischen Räumen homöomorph sind; eine absolute \(F_{\sigma}\)-Menge heißt ``irreduzibel'', wenn sie nicht nur nirgends abgeschlossen, sondern auch nirgends abzählbar ist. Es wird gezeigt, daß sowohl alle nirgends abgeschlossenen nulldimensionalen \(G_{\delta}\)-Mengen untereinander, als auch alle nulldimensionalen irreduziblen \(F_{\sigma}\)-Mengen untereinander homöomorph sind; und zwar sind erstere der Menge aller Irrationalzahlen, letztere einer als ``Cantorsche \(F_{\sigma}\)- Menge'' bezeichneten Menge homöomorph. Der Bau jeder dieser beiden Mengen zeigt, daß jede nulldimensionale irreduzible \(G_{\delta}\)- oder \(F_{\sigma}\)-Menge homogen ist, d. h. sich eineindeutig und stetig so in sich abbilden läßt, daß ein willkürlicher Punkt in einen vorgeschriebenen Punkt übergeht. Die genannten Resultate werden im letzten Paragraphen als Aussagen über die topologischen Typen der irreduziblen nulldimensionalen Mengen der Baire-Lebesgueschen Klassen 0 und l gedeutet. Schließlich wird in einem Anhang ein (nicht nur auf nulldimensionale Mengen bezüglicher) Satz über Mengen von der II. Kategorie (im Lusinschen Sinne) bewiesen.