Über stetige Bilder von Punktmengen. II. (Q1445523)

Folgende Sätze werden bewiesen: I. Ist der separable \(n\)-dimensionale metrische Raum \(R\) eindeutig und stetig auf den \(n^*\)-dimensionalen Raum \(R^*\) abgebildet, wobei \(n^* \geqq n\) ist, so gibt es in \(R^*\) Punkte, die Bilder von mindestens \(n^*- n + 1\) verschiedenen Punkten von \(R\) sind. (Dabei kann die Schranke \(n^*-n + 1\) im allgemeinen nicht, im Spezialfall, wo \(R\) eine Teilmenge des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes ist, dagegen auf \(n^* - n + 2\) erhöht werden.) II. Ist der kompakte \(n\)-dimensionale metrische Raum \(R\) eindeutig und stetig auf den \(n^*\)-dimensionalen Raum \(R^*\) abgebildet, wobei \(n \geqq n^*\) ist, so gibt es in \(R\) Punkte mit mindestens \((n-n^*)\)-dimensionalen Originalmengen.