Über Folgen stetiger Funktionen. (Q1445525)

Es seien \((a_n)\) und \((b_n)\) zwei Folgen reeller Zahlen; man sagt nach Hausdorff, daß \((a_n) > (b_n)\) bzw. \((a_n) < (b_n)\) bzw. \((a_n) = (b_n)\) ist, wenn für alle hinreichend großen \(n\)\ \(a_n>b_n\) bzw. \(a_n < b_n\) bzw. \(a_n = b_n\) ist. (Diese drei Fälle bilden keine vollständige Disjunktion.) Verf. nennt eine Menge \({\mathfrak M}\) von Zahlenfolgen nach oben bzw. nach unten beschränkt, wenn es eine Zahlenfolge \(\alpha\) gibt, die größer (kleiner) ist als alle Elemente von \({\mathfrak M}\). Die Menge \({\mathfrak M}\) heißt halbbeschränkt, wenn es eine Zahlenfolge \(\alpha\) gibt, so daß kein Element von \({\mathfrak M}\) größer (kleiner) ist als \(\alpha\). Eine nach oben und nach unten beschränkte Folgenmenge \({\mathfrak M}\) heißt schlechtweg beschränkt. Es sei auf einer Punktmenge \(M\) (eines metrischen Raumes) eine Folge \((f_n)\) von reellen stetigen Funktionen gegeben. Als Wertebereich der Funktionenfolge \((f_n)\) auf \(M\) bezeichnet Verf. die Menge aller Zahlenfolgen \((r_n)\), für die es einen Punkt \(p\) von \(M\) gibt, so daß \((f_n(p))= (r_n)\) gilt. Verf. zeigt leicht, daß, \textit{wenn \(M\) eine kompakte abgeschlossene Menge, sogar (allgemeiner) ein absolutes \(F_{\sigma}\)} (=Vereinigungsmenge abzählbarvieler kompakter abgeschlossener Mengen) \textit{ist, jede Folge (\(f_n\)) von auf \(M\) stetigen Funktionen einen beschränkten Wertebereich hat}, und fragt nach der allgemeinsten Kategorie von Punktmengen, für welche letztere Eigenschaft noch gilt. Die vollständige Antwort auf diese Frage wird mit Hilfe folgender Definitionen gegeben: Jedes System von offenen Mengen, in deren Vereinigungsmenge \(M\) enthalten ist, heißt Überdeckung von \(M\). Ist \(\sigma_1, \sigma_2,\ldots,\sigma_n,\ldots\) eine Folge von Überdeckungen der Menge \(M\), so heißt eine Auswahlüberdeckung aus der Folge \((\sigma_n)\) eine Überdeckung, welche aus abzählbar vielen offenen Mengen \(U_1,U_2,\ldots, U_n, \ldots\) besteht, so daß \(U_n\) für jedes \(n\) Vereinigungsmenge von endlich vielen Elementen aus \(\sigma_n\) ist. Verf. sagt sodann, daß \(M\) die Eigenschaft \(E^{*}\) besitzt, wenn aus jeder Folge von Überdeckungen der Menge \(M\) eine Auswahlüberdeckung gebildet werden kann. Verf. sagt endlich, daß \(M\) die Eigenschaft \(E^{**}\) besitzt, wenn aus jeder Überdeckungsfolge der Menge \(M\) eine Auswahlüberdeckung so gebildet werden kann, daß jeder Punkt von \(M\) in fast allen Elementen dieser Auswahlüberdeckung liegt. Es gilt nun folgender Satz: \textit{Die Eigenschaft \(E^*\) bzw. \(E^{**}\) bildet die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß auf der separablen Menge \(M\) jede Folge stetiger Funktionen einen halbbeschränkten bzw. beschränkten Wertebereich besitzt.} Aus diesem und einem früheren Satz schließt Verf. ferner: \textit{Unter allen (\(A\))- Mengen} (im Suslinschen Sinne) \textit{eines separablen vollständigen Raumes haben nur die absoluten \(F_{\sigma}\)-Mengen die Eigenschaft, daß auf ihnen alle Folgen stetiger Funktionen beschränkte Wertebereiche besitzen.} Verf. wendet seine Ergebnisse auf nicht abzählbare wohlgeordnete Mengen von Zahlenfolgen (Hausdorffsche ``\(\varOmega\)-Reihen'') an und gibt schließlich (in einer nachträglichen Bemerkung) eine neue Formulierung der Eigenschaft \(E\). (III, IV 3 C.)