The relations connecting the angle-sums and volume of a polytope in space of \(n\) dimensions. (Q1445616)

Die Arbeit knüpft an die Sätze an, welche von Dehn in den Schlußbemerkungen der Abhandlung über die Eulersche Formel (1906; F. d. M. 37, 492 (JFM 37.0492.*)-493) vorläufig ausgesprochen worden sind. Der Verfasser stellt sowohl die \(\left[\dfrac n2\right]+1\) Relationen zwischen den Anzahlen der Begrenzungsmannigfaltigkeiten eines Simplexpolytops im \(R_n\), als auch die linearen Relationen, welche zwischen seinen verschiedenen Winkelsummen bestehen und bei geradem \(n\) das Volumen enthalten, tatsächlich auf, wobei sich herausstellt, daß beide Arten von Relationen von genau derselben Form sind. Der Schluß enthält einige Bemerkungen über Eulersche und reguläre Polytope, speziell für den Fall \(n=4\).