Lehrbuch der analytischen Geometrie. Grundlagen. Projektive, Euklidische, Nichteuklidische Geometrie. Bd. I: Grundlagen. Grundgebilde I. Stufe. Euklidische Ebene. (Q1445711)

Der erste Band des bekannten Lehrbuches der analytischen Geometrie von Heffter und Koehler liegt in einer wesentlich umgearbeiteten und vermehrten zweiten Auflage vor (1. Aufl. Leipzig, B. G. Teubner, 1905; F. d. M. 36, 606 (JFM 36.0606.*)-608). Im Gegensatz zur ersten Auflage beginnt die Darstellung mit einer axiomatischen Grundlegung der reellen projektiven Geometrie; dieser einleitende Abschnitt (``Die Grundlagen der Geometrie'') schließt sich eng an die gleichbetitelte Schrift von L. Heffter (Leipzig, B. G. Teubner, 1921; F. d. M. 48, 683 (JFM 48.0683.*)) an. Über die weiteren Abweichungen von der ersten Auflage berichtet L. Heffter im Vorwort: ``Daß nach dem axiomatischen Aufbau der projektiven Geometrie diese durch Hinzufügen erst der Parallelgeometrie zur affinen und dann der Orthogonalgeometrie zur äquiformen oder Euklidischen Geometrie erweitert wird, war schon für die erste Auflage charakteristisch. Jetzt aber können alle bei dieser Erweiterung erforderlichen neuen Begriffe einfach durch Spezialisierung projektiver Begriffe definiert werden. Es schien ferner wünschenswert, neben den Ausbau der projektiven Geometrie zur Euklidischen auch denjenigen zur Nichteuklidischen Geometrie zu stellen. So war dem vorliegenden ersten Band, der die Geometrie in den Grundgebilden I. Stufe und in der projektiven, affinen und Euklidischen Ebene enthält, nur ein Kapitel über hyperbolische Geometrie in den Grundgebilden I. Stufe hinzuzufügen, da ja die parabolische Geometrie schon in der eigentlichen Punktreihe, die elliptische schon im eigentlichen Büschel, also innerhalb der Euklidischen Ebene, verwirklicht ist.'' ``Die genannten Änderungen und Erweiterungen treten am meisten in Erscheinung in der Einleitung (Grundlagen der Geometrie), in dem ganzen I. Abschnitt (Geometrie in den Grundgebilden I. Stufe), im II. Abschnitt A. Kap. I, II (Elemente der projektiven Geometrie in der Ebene), B. Kap. I (Elemente der Parallelgeometrie) und C. Kap. I (Elemente der Orthogonalgeometrie). Wesentlich umgearbeitet wurde ferner im II. Abschnitt A. Kap. VII: die projektive Geometrie der Kegelschnitt-Büschel und -Scharen.'' Inhaltsverzeichnis: Einleitung: Die Grundlagen der Geometrie. Erster Abschnitt: Geometrie in den Grundgebilden I. Stufe. (I: Projektive Geometrie in den Grundgebilden I. Stufe. II: Parallelgeometrie in der eigentlichen Punktreihe. III: Orthogonalgeometrie im eigentlichen Büschel. IV: Nichteuklidische [hyperbolische] Geometrie in den Grundgebilden I. Stufe.) Zweiter Abschnitt: Geometrie in den Grundgebilden II. Stufe. A: Projektive Geometrie. (I: Projektive Punkt- und Limenkoordinaten in der Ebene. II: Sätze über mehrere Punkte und Gerade. III: Die kollineare oder projektive und die korrelative oder reziproke Transformation der Ebene. IV: Allgemeine projektive Eigenschaften der Kurven II. Ordnung und II. Klasse. V: Projektive Einteilung der Kegelschnitte. VI: Polarität in bezug auf einen Kegelschnitt. VII: Projektive Eigenschaften des Kegelschnittbüschels und der Kegelschnittschar.) B: Parallelgeometrie in der eigentlichen Ebene. (I: Elemente der Parallelgeometrie in der eigentlichen Ebene. II: Affine Klassifikation und parallelgeometrische Eigenschaften der Kegelschnitte als Punkt- und als Strahlenkurven. III: Das Kegelschnittbüschel in der affinen Geometrie. IV: Die Kegelschnittschar in der affinen Geometrie.) C: Orthogonalgeometrie in der eigentlichen Ebene. (I: Elemente der Orthogonalgeometrie in der eigentlichen Ebene. II: Die orthogonalgeometrischen Spezialfälle der Kegelschnitte, zumal die Kreise. III: Die Hauptachsen der Kegelschnitte. IV: Brennpunkte und Fokaleigenschaften der Kegelschnitte. V: Das Kegelschnittbüschel in der äquiformen Geometrie. VI: Die Kegelschnittschar in der äquiformen Geometrie.) Anhang: Determinanten. Besprechung: R. Baldus; Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 104-107 kursiv. (V 5 B.)