Zur Definition der affinen Abbildung. (Q1445735)

Die Definition der affinen Abbildung führt auf das folgende Problem: Es ist eine Funktion \(\varphi (z)\) zu bestimmen, die folgende Eigenschaften hat: 1. \(\varphi (z)\) ist für jedes \(z\) eindeutig definiert. 2. \(\varphi (z)\) nimmt jeden Wert genau einmal an. 3. \(\varphi (z_1+z_2)=\varphi (z_1) + \varphi (z_2)\). 4. \(\varphi (z_1z_2)=\varphi (z_1)\cdot \varphi (z_2)\). Im Reellen hat diese Aufgabe, wie zuerst Darboux gezeigt hat, nur die Lösung \(\varphi (z)=z\). Verf. behandelt die Aufgabe im Komplexen. Im Komplexen sind jedenfalls \(\varphi (z)=z\) und \(\varphi (z)=\bar z\) Lösungen der Aufgabe. Die Existenz unstetiger Lösungen im Komplexen haben, und zwar von allgemeineren Untersuchungen her, zuerst E. Steinitz (1910), A. Ostrowski (1913) und Fräulein Noether (1916) bewiesen. Verf. gibt einen direkten Weg zur Bestimmung unstetiger Lösungen, indem er mit Hilfe des Wohlordnungssatzes für die Menge der komplexen Zahlen eine algebraische Basis konstruiert.