On the mapping of the sextuples of the symmetric substitution group \(G_6\) in a plane upon a quartic. (Q1445845)

Die 6 Permutationen von 3 Elementen \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), letztere als projektive Punktkoordinaten in einer Ebene gedeutet, bestimmen eine Involution von Punktsextupeln \(I_6\), die sich auf eine rationale Fläche abbilden läßt. Seien \(\varphi_1\), \(\varphi_2\), \(\varphi_3\) die elementarsymmetrischen Verbindungen der \(x\), so hat die allgemeine symmetrische Funktion der \(x\) vom Grade 4 die Gestalt: \[ y_i = a_i\varphi_1^4 +b_i\varphi_1^2\varphi_2 +c_i\varphi_1\varphi_3 + d_i\varphi_2^2. \] Es gibt also 4 linear unabhängige \(y_i\) (\(i = 1\), 2, 3, 4), die man 4 projektiven Punktkoordinaten im Raume proportional setze. Jedem \(J_6\) entspricht dann \((1, 1)\)-deutig ein Punkt \((y)\). Der Ort dieser Punkte \((y)\) erweist sich als ein quadratischer Kegel \(K\), dessen Gleichung aufgestellt und diskutiert wird. Die Abbildung dieses Kegels \(K\) auf die Ebene führt dann zu gewissen Sätzen über symmetrische Kurven 4. Ordnung.