Die Involutionen auf einer linearen Strahlenkongruenz. (Q1445931)

Die Theorie der Involutionen schien seit langem ein völlig durchforschtes Gebiet der Geometrie zu sein -- eine Theorie aller Involutionen auf der linearen Strahlenkongruenz fehlte bisher! In der vorliegenden Abhandlung wird die Grundlage für diese Theorie durch die Erkenntnis gewonnen, daß die \(\infty^2\) Paare einer Involution auf einer linearen Strahlenkongruenz aus reziproken Polaren eines polaren Raumes bestehen, eine Definition, die für alle reellen und imaginären Vorkommnisse in gleicher Weise tragfähig bleibt. Paart ein polarer Raum die Strahlen einer linearen Kongruenz involutorisch, indem er sie als reziproke Polaren einander zuweist, so liegt seine (reelle oder imaginäre) Inzidenzfläche entweder einscharig in der linearen Strahlenkongruenz (primärer polarer Raum), oder sie trägt zwei involutorische Regelscharen des geschart involutorischen Raumes der Kongruenz (sekundärer polarer Raum). Die Involutionen auf der linearen Strahlenkongruenz teilen sich daher in zwei Klassen, die ``primären'' und die ``sekundären'' Involutionen. Jede der beiden Klassen wird mit Hilfe der sie bestimmenden polaren Räume eingehend untersucht, wobei wieder die hyperbolischen, parabolischen und elliptischen Strahlenkongruenzen in gleicher Weise Berücksichtigung finden. Demnach liegen auf der hyperbolischen linearen Kongruenz zwei Arten primärer und neun Arten sekundärer Involutionen, auf der elliptischen drei Arten primärer und zwei Arten sekundärer Involutionen; endlich trägt eine parabolische allgemeine Kongruenz drei Arten primärer und drei Arten sekundärer Involutionen. (Eine besondere Art von sekundären Involutionen mit einem vierfachen Doppelstrahl, die sowohl auf der hyperbolischen als auch auf der elliptischen Kongruenz vorkommen, werden nicht ausdrücklich erwähnt, lassen sich aber organisch in die Untersuchung einordnen.) Die anschließenden Ausführungen über metrische Involutionen sind vornehmlich deshalb von besonderem Interesse, weil sie die Fokaltheorie der linearen Strahlenkongruenz in die Theorie der Involutionen auf der linearen Strahlenkongruenz einbeziehen und die Fokaltheorie dadurch aus ihrer isolierten Lage befreit wird. Das Fokalparaboloid der linearen Strahlenkongruenz, in der Fokaltheorie umhüllt vom Bündel der Mittelebenen, bedingt hier eine ``orthogonale'' sekundäre Involution der Kongruenzstrahlen, als deren Doppelstrahlen die Fokalachsen sich ergeben usw. Schließlich gelingt von hier aus eine Einteilung der linearen Strahlenkongruenzen nach metrischen Gesichtspunkten. Die Involutionen auf der linearen Strahlenkongruenz sind für den (euklidischen wie nichteuklidischen) Strahlenraum von ähnlicher Bedeutung wie die Involutionen auf den Grundgebilden erster Stufe für den Punkt- und Ebenenraum. Mannigfache Anwendungsmöglichkeiten dieser grundlegenden Untersuchungen liegen auf der Hand. (V 5 D.)