Un teorema topologico sulle schiere di curve. (Q1446026)

Gegeben ist ein ebenes Kurvensystem \(C\), in dem durch jeden Punkt eines Feldes \(G\) drei Kurven gehen, die sich nicht berühren, und von denen jede einem anderen System angehört; jede Kurve ist dreimal differenzierbar. Es wird folgender Satz bewiesen: Die notwendige und hinreichende Bedingung für eine stetige, eineindeutige Transformation der Punkte von \(G\) auf die Punkte \(G^*\) eines Feldes in einer anderen Ebene, die die Kurven \(C\) in drei Scharen paralleler Geraden überführt, ist die Existenz der Konfiguration von Sechsecken (sesagoni) im System \(C\). Hierunter versteht man folgendes: Wählt man auf einem der sechs Zweige \(a_1, a_2, \ldots, a_6\), die durch einen beliebigen Punkt \(P\) von \(G\) gehen, z. B. auf \(a_1\) einen beliebigen Punkt \(P_1\), und verfolgt man die durch \(P_1\) gehende Kurve, die dem dritten System angehört, so gelangt man zu \(P_2\), ihrem Schnittpunkt mit \(a_2\). Von \(P_2\) aus geht man wieder auf der Kurve des dritten System weiter bis \(P_3\) usw. Von \(P_6\) aus gelangt man schließlich zum Punkte \(P_7\), der im allgemeinen nicht mit \(P_1\) zusammenfällt. Ist die Konfiguration aber so beschaffen, daß für jeden beliebigen Ausgangspunkt \(P_1\) mit \(P_7\) zusammenfällt, so hat man die Konfiguration der geschlossenen Sechsecke. Mit Hilfe dieses Theorems kann man isotherm-asymptotische Flächen geometrisch charakterisieren: sie sind die einzigen elliptisch gekrümmten Flächen, auf denen die drei reellen Darboux'schen Kurvenscharen Sechsecke bilden, und sie sind die einzigen hyperbolisch gekrümmten Flächen, auf denen zwei reelle Asymptotenscharen und eine reelle Darboux'sche Kurvenschar Sechsecke bilden. (V 6 B.)