Singularitäten konvexer Flächen. (Q1446309)

Verf. definiert die reguläre Schicht eines Punktes \(P\) einer positiv gekrümmten Fläche folgendermaßen: \(\mathfrak{t}_0\) sei die Tangentialebene der Fläche in \(P\). \(\mathfrak{t}_x\) sei die auf derselben Seite wie die Fläche gelegene zu \(\mathfrak{t}_0\) parallele Ebene im Abstand \(x\). \(\mathfrak{t}_x\) gehört dann und nur dann zur regulären Schicht von \(P\), wenn alle \(\mathfrak{t}_\xi\) mit \(0 < \xi\leqq x\) die Fläche in Eilinien schneiden, die sich mit \(\xi\) stetig ändern. Es werden dann die folgenden beiden Sätze bewiesen: I. Hat die reguläre Schicht eines Flächenpunktes eine endliche Grenzebene, so ist die Fläche entweder eine Eifläche, oder die Grenzebene enthält einen singulären Punkt der Fläche. II. Ist auf der Fläche überall die Gauß'sche Krümmung \[ K\geqq c > 0, \tag{1} \] so hat die reguläre Schicht jedes Flächenpunktes eine endliche Grenzebene. Satz I wird aus einem Hilfssatz gefolgert, der besagt, daß jeder Punkt, der zur regulären Schicht eines Punktes \(P\) gehörigen Flächenkalotte von \(P\) eine Entfernung hat, die kleiner ist als eine nur von seinem Abstand von \(\mathfrak{t}_0\) und von einem beliebig kleinen, \(P\) enthaltenden Flächenstück abhängende Konstante. Satz II ergibt sich so: Die Normalenabbildung der zur regulären Schicht eines Punktes gehörigen Flächenkalotte ist eineindeutig. Der Flächeninhalt des Bildes auf der Kugel ist also \(\leqq 4\pi\). Daraus folgt wegen (1), daß auch der Inhalt der Kalotte selbst beschränkt ist. Aus einer Schranke für diesen Inhalt läßt sich eine Schranke für die Dicke der regulären Schicht herleiten.