Zwei Sätze über die Starrheit der Eiflächen. (Q1446310)

I. Zwei stetig gekrümmte, stückweise analytische Eiflächen sind kongruent oder symmetrisch, wenn sie isometrisch sind. Der Beweis verläuft so: Es seien zwei isometrische Eiflächen gegeben. Die Dupinschen Indikatrices der beiden Flächen in entsprechenden Punkten sind inhaltsgleiche Ellipsen. Wird nun die Indikatrix der einen auf die der anderen der Isometrie entsprechend gelegt, so haben sie vier Schnittpunkte oder sie fallen zusammen. Das Zusammenfallen tritt entweder stets oder nur in endlich vielen Punkten ein. Im ersten Fall sind die beiden Flächen kongruent oder symmetrisch; im zweiten definieren die Durchmesser nach den Schnittpunkten auf der einen Fläche ein Richtungsnetz mit endlich vielen Singularitäten. Die Summe der Indices der Singularitäten ist nach einem bekannten Satz gleich 4. Andererseits wird durch Zurückführung auf einen Satz über Abbildungen eines ebenen Riemannschen Flächenstückes mit Umkehrung des Drehsinns gezeigt, daß die Indices nicht positiv sein können. Der zweite Fall kann also nicht eintreten. II. Schneidet man in eine Eifläche ein beliebig kleines Loch, so wird sie infinitesimal verbiegbar. Die Konstruktion einer Infinitesimalverbiegung wird auf ein homogenes Randwertproblem einer linearen elliptischen Differentialgleichung zurückgeführt, für das die Existenz einer Lösung bekannt ist. (V 6 B.)