Die Punkte von Burmester, ihre Eigenschaften und Konstruktion. (Q1446400)

Burmester hat die folgende Aufgabe gelöst (1878; F. d. M. 10, 587 (JFM 10.0587.*)): Es sind fünf willkürliche Lagen einer ebenen Figur gegeben; es ist in dieser Figur der Punkt \(A\) so zu bestimmen, daß seine entsprechenden fünf Lagen auf einem Kreise liegen. Burmester hat gezeigt, daß man vier solche Punkte \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) angeben kann. Vor Burmester sind diese Punkte schon von Čebyšev untersucht worden. Deshalb bezeichnet Verf. den Punkt von Burmester, dem ein unendlich großer Krümmungsradius entspricht, als Punkt von Čebyšev, und den entsprechenden Fall als den Fall von Čebyšev. R.~Müller hat in einer Reihe von Arbeiten (F. d. M. 24, 822 (JFM 24.0822.*). 25, 1343. 33, 731) die Eigenschaften der Punkte von Burmester und insbesondere, in der Terminologie des Verfassers, des Punktes von Čebyšev studiert. Die Methoden des Verfassers sind aber von denen von R.~Müller verschieden. Die vorliegende Arbeit umfaßt fünf Kapitel. Das erste Kapitel ist den Eigenschaften der Strophoide gewidmet, die in der Theorie eine wichtige Rolle spielt. In den ersten Hälften des zweiten und dritten Kapitels untersucht Verf. die Beschleunigungen verschiedener Ordnung der Punkte einer beweglichen Ebene; er findet die Bedingungen dafür, daß der Kreis mit der Bahnkurve eine Berührung zweiter, dritter, \dots Ordnung hat. Aus diesen Bedingungen erhält Verf. die Grundgleichungen, die die Lagen der Punkte von Burmester bestimmen. Die zweite Hälfte des zweiten Kapitels ist mit dem Thema der Arbeit nicht unmittelbar verknüpft. Verf. leitet hier einige Eigenschaften der Beschleunigung erster Ordnung und, mit Hilfe eines neuen Verfahrens, die Formel für den Krümmungsradius der Enveloppe her. Die zweite Hälfte des dritten Kapitels behandelt die wichtigsten, unmittelbar aus den Grundgleichungen folgenden Eigenschaften der Punkte von Burmester. Das vierte Kapitel bildet den wichtigsten Teil der Arbeit. Wie bekannt, sind die Punkte von Burmester auf einer Strophoide \(S\) und die Krümmungsmittelpunkte der Bahnkurven dieser Punkte auf einer anderen Strophoide \(\varSigma\) gelegen. Die Methode des Verfassers basiert auf einer Transformation der beiden Strophoiden in denselben Kreis \(D\). Dabei geht jeder Punkt von \(S\) und das entsprechende auf \(\varSigma\) gelegene Krümmungszentrum in denselben Punkt von \(D\) über. Im letzten Kapitel untersucht Verf. Spezialfälle, bei denen \(S\) oder \(\varSigma\) in eine Gerade, einen Kreis oder eine gleichseitige Hyperbel entarten.