Mouvement d'un point matérial sous l'action d'une force qui dépend du temps. II. (Q1446463)

Die vorliegende Abhandlung bildet den zweiten Teil der 1925 [ibid. \(2_4\), 5--11 (1925 ; JFM 51.0619.04)] veröffentlichten Arbeit des Verfassers; sie enthält vier Kapitel, deren Inhalt kurz wiedergegeben werden soll: I. Es wird an die Resultate der ersten Arbeit erinnert. Ist \(M_0f(t)\) die veränderliche Masse des Zentralkörpers und \(F(\omega)\) die als Funktion der wahren Anomalie ausgedrückte Funktion \(f(t)\), dann gilt \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill f_t^\prime(t)=\overline{c}\zeta^2\frac{dF(\omega)}{d\omega}\,; \hfill} \] dabei ist \(\overline{c}=c^{-3}\) eine Konstante und \[ \displaylines{\rlap{\indent(2)}\hfill \zeta=\frac{c^2}r=e\cos(\omega-\delta)+\int\limits_0^\omega F(v)\sin(\omega-v)\,dv. \hfill} \] II. Setzt man \[ f_t^\prime(t)=\varphi(F(\omega)), \] dann nimmt (1) die Gestalt \[ \displaylines{\rlap{\indent(3)}\hfill \frac{dF(\omega)}{d\omega}=\frac{\varphi(F(\omega))}{\zeta^2} \hfill} \] an; dabei ist \(\varphi\) eine bekannte stetige Funktion von \(F\). Um (3) zu lösen, wendet Verf. das Verfahren der sukzessiven Approximation an. Als erste Approximation wird die Eins (konstante Masse) genommen; allgemein wird \[ \displaylines{(4)\;\hfill F_n(\omega)=1+\int\limits_0^\omega\frac{\varphi(F_{n-1}(t))}{\zeta_{n-1}^2}\,dt,\quad \zeta_{n-1}=e\cos(t-\delta)+\int\limits_0^t F_{n-1}(v)\sin(t-v)\,dv. \hfill} \] Die Funktion \(F_n(\omega)\) existiert im Intervall \((0,\omega_1)\), wenn \(\omega_1\) die erste positive Wurzel der Gleichung \(\zeta = 0\) bezeichnet. Bei \(\omega=\omega_1\) hat der Radiusvektor einen Pol, und der Punkt geht ins Unendliche; dies tritt aber nur bei \(t=\infty\) ein. III. Die Masse soll außer von der Zeit \(t\) noch von einem kleinem Parameter \(\mu\) abhängen; (1) bekommt dann die Form \[ \displaylines{\rlap{\indent(5)}\hfill \frac{dF(\omega)}{d\omega}=\frac{\varphi(\mu,F(\omega))}{\zeta^2} \hfill} \] (5) wird als das System der drei Gleichungen \[ \displaylines{\rlap{\indent(6)}\hfill \frac{dz}{d\omega}=\frac{\varphi(\mu,\zeta+z)}{\zeta^2}-y,\quad \frac{dy}{d\omega}=z,\quad \frac{d\zeta}{d\omega}=y \hfill} \] dargestellt; dieses besitzt eine in dem Intervall \((0,\omega_1)\) stetige Lösung, die in bezug auf \(\mu\) analytisch ist: \[ \displaylines{\rlap{\indent(7)}\hfill F(\omega)=1+\mu F_1(\omega)+\mu^2F_2(\omega)+\cdots. \hfill} \] Mit Hilfe dieser Reihe wird der analytische Ausdruck für die Wurzeln der Gleichungen \(\zeta = 0\) und \(\zeta' = 0\) bestimmt. IV. Wenn die zentrale Masse eine monotone, unendlich abnehmende Funktion der Zeit ist, ist die Bahn eine der logarithmischen Spirale ähnliche Spirale. Im Falle \(e = 0\) macht die Spirale unendlich viele Windungen, im Fall \(e \neq 0\) geht sie nach einer endlichen Zahl von Windungen ins Unendliche.