Über die Gliederung ebener Fachwerke. (Q1446470)

Die bisher unerledigte und wichtige, aber tiefer liegende Frage, diejenigen ebenen Fachwerke zu kennzeichnen, die nicht schon ihrer Gliederung gemäß zu den Ausnahmefachwerken gehören, wird vollständig beantwortet durch den Beweis des einfachen Satzes: \textit{Ein ebenes Fachwerk mit \(k\) Knoten und \((2k\)---\(3)\) Stäben ist dann und nur dann brauchbar, wenn es kein Teilsystem von \(l\) Punkten \((4\leqq l< k)\) enthält, die durch mehr als \((2l\)---\(3)\) ``innere'' Stäbe verbunden} sind. ``Innere'' Stäbe sind solche, deren Endpunkte dem Teilsystem selbst angehören. Fachwerke, die dieser Bedingung widersprechen, sind unbrauchbar in dem Sinne, daß die Determinante des Systems der Spannungs- oder der Verschiebungsgleichungen bei jeder Wahl der Knotenpunktskoordinaten identisch verschwinden muß, und damit das Fachwerk endliche oder infinitesimale Beweglichkeit erhält, ohne daß es möglich ist, trotz Erfüllung der Bedingung für die Knotenpunktzahl \(s = 2k- 3\) die unbekannten Stabspannungen zu bestimmen. Der Beweis dieses Hauptsatzes wird durch vollständige Induktion in drei Schritten geführt, die in geometrisch- kinematischen Überlegungen bestehen, welche von den in der Fachwerkstheorie üblichen Vorstellungen Gebrauch machen, entsprechend dem Umstände, daß ein komplettes Fächwerk, d. h. ein solches, dessen Stabzahl \(s = 2k- 3\) ist, mindestens entweder (1) einen nullstäbigen oder einstäbigen Knoten, (2) einen zweistäbigen oder (3) einen dreistäbigen Knoten besitzen muß. Im ersten und zweiten Falle sind die beiden wesentlichen Schritte: Übergang von einem gegebenen kompletten ``anhäufungslosen'' (d. h. einem kompletten Fachwerk, in dem auch kein Teilsystem von \(l\) Punkten mehr als \(2l - 3\) ``innere'' Stäbe besitzt) Fachwerk von \((\alpha-1)\) Knoten zu einem kompletten anhäufungslosen \(F_\alpha\), Rückkehr von einem starren \(F_{\alpha-1}\) zu einem starren mit \(F_\alpha\) gleichgegliederten \(F_\alpha\), unmittelbar ausführbar. Der dritte Fall erfordert dagegen weitergreifende Vorbereitungen durch einen kombinatorischen Hilfssatz: Wenn es in einem anhäufungslosen Fachwerk mit \(k\) Knotenpunkten, in dem \(\nu\) Stäbe fehlen, ein Punkttripel 1, 2, 3 gibt, so daß jedes der drei Punktpaare (1, 2) (2, 3) (3, 1) des Tripels einem kompletten System angehört, so gibt es auch ein komplettes System \(S\), dem alle drei Punkte angehören. Und ferner durch einen kinematischen Satz: Aus einem starren kompletten Fachwerk mit \((k- 1)\) Knoten erhält man ein starres komplettes Fachwerk mit \(k\) Knoten, wenn man einen beliebigen Stab \((m, n)\) herausnimmt und dann an drei solche Punkte 1, 2, 3, die durch Herausnahme von \((m, n)\) eine gegenseitige Beweglichkeit erlangt haben, einen dreistäbigen Knoten \(K\) so anhängt, daß bloß \(K\) nicht auf einem gewissen Kegelschnitt, dem sog. gefährlichen Ort von \(K\), den man in das um den Stab verminderte Fachwerk einzeichnen kann, zu liegen kommt. Hieraus ergeben sich als Bildungsgesetze eines kompletten und starren Fachwerkes aus einem brauchbaren kompletten \(F_{k-1}\): (1) Anhängen eines zweistäbigen Knotens, (2) Herausnahme eines Stabes und Anhängen eines dreistäbigen Knotens an seine zwei Punkte und an einen dritten, ganz beliebigen Punkt des Fachwerkes, ohne jede Bedingung bezüglich der ``Beweglichkeit''. Entsprechend geht auch die Reduktion durch Abbrechen eines Knotenpunktes vor sich. So sind alle kompletten brauchbaren Fachwerke aus einem Dreieck ableitbar und auf dieses zurückfuhrbar. Der Hauptsatz wird auf Mechanismen verallgemeinert: Ein Gebilde von \(k\) Knoten und \((2k- 3 - \nu)\) Stäben hat nicht mehr als \(\nu\) in der Gliederung begründete Beweglichkeiten, d. h. es ist im verallgemeinerten Sinne brauchbar, wenn es keine Anhäufung besitzt. Der Satz hat auch einen algebraischen Charakter. In der Matrix von \((2k-3)\) Zeilen und \(2k\) Spalten der Fachwerksgleichung verschwindet dann und nur dann keine \((2k-3)\)-reihige Determinante identisch, wenn es in dieser Matrix keine Gruppe von \(p(p < 2k - 3)\) Spalten gibt, in der alle Elemente gleich Null sind, welche diese \(p\) Spalten mit mehr als \((2k- 3) - p\) Zeilen gemeinsam haben.