Über Schwingungen eines Systems, dessen Parameter sich periodisch ändern. (Q1446564)

Als Beispiel zu der im Titel genannten Aufgabe untersuchen die Verf. Gleichungen, die die Schwingungen eines Pendels in einem periodisch veränderlichen Felde, ohne und mit Widerstand, darstellen. Diese Gleichungen sind: \[ \frac{d^2y}{dt^2}+(1+q\cos pt)y=0, \tag{2} \] \[ \frac{d^2y}{dt^2}+2f\frac{dy}{dt}+(1+q\cos pt)y=0. \tag{1} \] (1) läßt sich sofort auf die Mathieusche Gleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2}+\mu^2(1+q\cos 2x)y=0 \tag{3} \] zurückführen. Nach der Untersuchung von stabilen und unstabilen Lösungen von (3) geben die Verf. den asymptotischen Ausdruck der Lösung von (3) bei \(\mu\to\infty\): \[ y(x)=\text{c g}^{-\frac14}\cos\left( \mu\int\limits_0^x g^{\frac12}dx+b\right)+O\left(\frac1\mu\right). \tag{4} \] Bei (2) wird als Bedingung für die Existenz unstabiler Lösungen die Ungleichung \(q^2 > 8f\) angegeben.