Die Kipperscheinungen bei elastischen Ringen. (Q1446587)

Die früheren Untersuchungen des Verfassers über Umstülpen und Umkippen elastischer Ringe (F. d. M. 49. 595) werden dahin verallgemeinert, daß Querschnitt und Kraftverteilung nicht mehr äquatoriale Symmetrie zu besitzen brauchen. Ein allgemeiner Querschnitt wird durch sechs Konstanten gekennzeichnet, die geeignete Verallgemeinerungen von Fläche, statischen Momenten und Trägheitsmomenten nebst Zentrifugalmoment für zwei rechtwinklige Achsen sind. Die entsprechende Verallgemeinerung des Schwerpunkts wird als Kippmittelpunkt bezeichnet, weil die von den Kippmittelpunkten gebildete Faser des Ringes sich bei der Verformung nur erweitert oder zusammenzieht, so daß die Kippung als eine Umstülpbewegung der Querschnitte um ihre Kippmittelpunkte erscheint. Belastungen an dieser Faser bringen keine Kippungen hervor (kippfreie Faser). Die Belastung wird zunächst als Innenbelastung gedacht, die kontinuierlich mitkonstanter Stärke längs einer Faser angreift. Von den elastischen Spannungen werden nur die Längsspannungen der Ringfasern berücksichtigt, so daß nur zwei Gleichgewichtsbedingungen (für die Resultierende und das Moment der Längsspannungen) auftreten. Während die erste die Dehnung der kippfreien Faser liefert, gibt die zweite die Beziehung zwischen dem Umstülpwinkel \(\varphi\) und der Lastgröße \(P\). Zeichnet man die Schaubilder dieser Funktion, wobei die verallgemeinerten Momente zweiter Ordnung des Querschnitts als Parameter auftreten, so gewinnt man einen anschaulichen Überblick über das Eintreten der Kipperscheinungen, da sie zu den Verzweigungspunkten und den Stellen mit lotrechter Tangente bei diesen Kurven gehören. Bei \textit{gerader Belastung}, d. h. wenn die Ebene der Belastungskräfte die Kippmittelpunkte enthält, dehnen sich die rundlichen Ringe -bei ihnen ist das verallgemeinerte Trägheitsmoment \(J\) für die zur Drehachse parallele Gerade gleich dem entsprechenden Moment \(L\) für die zur Drehachse senkrechte Gerade -- mit wachsender Belastung zunächst einfach aus, bei Erreichen einer kritischen Belastung setzt dann das Umstülpen stetig ein, bis beim Erreichen einer zweiten kritischen Belastung der Umstülpwinkel eine sprunghafte Änderung erfährt. Wenn man den Ring wieder entlastet, erhält man eine dritte kritische Last, (die auch negativ sein kann), bei der der Ring sprunghaft in die Anfangslage zurückgeht. Die flachen Ringe \((L > J)\) verhalten sich wie die rundlichen Ringe und das Verhalten der breiten Ringe \((h<J)\) kann durch eine einfache Transformation aus dem der flachen Ringe abgeleitet werden. Liegt schiefe Belastung vor, d. h. geht die Kraftebene nicht durch die Kippmittelpunkte, so genügt es, die symmetrieartigen Ringe -- bei denen das verallgemeinerte Zentrifugalmoment verschwindet -- zu betrachten, da sich die Kipperscheinungen bei allgemeinen Ringen daraus leicht ableiten lassen. Flache und rundliche Ringe werden ohne Kippung umgestülpt. Dasselbe gilt von schwachbreiten Ringen \((L > \frac12 J)\), solange die Verbindungslinie von Kippmittelpunkt und Kraftangriffspunkt nicht zu stark gegen die zur Achse senkrechte Ebene durch die Kippmittelpunkte geneigt ist. Andernfalls tritt eine unstetige Kippung beim Wachsen und eine ebensolche beim Abnehmen der Belastung auf. Die starkbreiten Ringe \((L < \frac12 J)\) können sich wie schwachbreite verhalten, es können aber auch bei ihnen vier Kipplasten auftreten. Der Fall einer Außenbelastung des Ringes kann durch einfache Transformation auf den einer Innenbelastung zurückgeführt werden. Das gleiche gilt von einer Belastung mit einem zur Drehachse parallelen Kraftringpaar, das ein Umstülpmoment bestimmt. Auch eine Belastung durch Eigenspannungen läßt sich unmittelbar einordnen.