Über die Bewegung einer Flüssigkeit, die in ein seinen Ort änderndes Gefäß eingeschlossen ist. (Q1446661)

Kapitel\ \ I: Vorläufige Bemerkungen.\ \ Kapitel\ \ II: Ermittelung der Geschwindigkeit bei gegebenen Wirbeln zur Anfangszeit im Falle eines einfach zusammenhängenden Gefäßes. Die Aufgabe wird mit Hilfe sukzessiver Approximationen gelöst, indem man die Formel \[ u_1=\frac{1}{4\pi }\biggl\{\frac{\partial }{\partial x_2} \int\limits_{R_t}\frac{\omega_3\,d\tau}{r}-\frac{\partial }{\partial x_3} \int\limits_{R_t}\frac{\omega_2\,d\tau}{r}+ \int\limits_{S_t}\,\biggl(\frac{\partial \vartheta}{\partial \xi_2} \cos\,(Nx_3)-\frac{\partial \vartheta}{\partial \xi_3} \cos\,(Nx_2)\biggr)\frac{d\sigma}{r}\biggr\}+ \frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\dots \] benutzt; dabei ist \(\varphi\) harmonisch, und \(\vartheta\) genügt im Innern von \(R_t\) der Gleichung: \[ \int\limits_{S_t}\frac{\vartheta\,\cos\,(rN)}{r^2}\,d\sigma= \int\limits_{S_t}\frac{\omega_1\,\cos\,(Nx_1)+ \omega_2\,\cos(Nx_2)+\omega_3\,\cos\,(Nx_3)}{r}\,d\sigma. \] Die Lösung erfolgt unter den folgenden Voraussetzungen: Das Gebiet \(R_t\) ist einfach zusammenhängend; der Rand \(S_t\) von \(R_t\) ist eine Fläche mit differenzierbaren Krümmungselementen, deren Ableitungen einer Hölderschen Bedingung genügen. Die Anfangskomponenten \(\omega_1^{(0)}\), \(\omega_2^{(0)}\), \(\omega_3^{(0)}\) des Wirbels \(\varOmega^{(0)}\) haben in \(R_0\) erste Ableitungen, welche einer Hölderschen Bedingung und der Gleichung \[ \text{div}\,\varOmega^{(0)}=0 \] genügen. Der Prozeß gibt Funktionen \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), welche in \(R_t\) einer Hölderschen Bedingung genügende erste Ableitungen besitzen. Unter den genannten Bedingungen hat die Aufgabe nur eine Lösung.