On electric phenomena in gravitational fields. (Q1446828)

Als ein Beispiel, bei dem sich die Integration nach den üblichen Methoden der Potentialtheorie durchführen läßt, behandelt Verf. die Wellengleichung \[ g^{\mu\nu}\varPhi_{\alpha,\,\mu\nu}=s_\alpha \] in einer Welt, die mit der ein für allemal vorgegebenen Schwarzschildschen Metrik ausgestattet ist. Die hier entwickelten Formeln vereinfachen sich beträchtlich, wenn man dadurch zu einem Grenzfall jener Metrik übergeht, daß man die Betrachtung auf die Umgebung eines festgehaltenen Punktes beschränkt, während die felderzeugende Singularität unter entsprechender Vergrößerung der Masse in bestimmter Richtung ins Unendliche rückt. So entsteht: \[ ds^2 = f^2dt^2-\frac1{c^2}(f^{-2}dx^2 + dy^2 + dz^2),\quad f^2(x) = 1+\frac{2g}{c^2}\,x. \] Die der statischen euklidischen Grundlösung \(\dfrac1r\) entsprechende Lösung lautet hier: \[ \varPhi_1=\varPhi_2=\varPhi_3=0,\quad \varPhi_4=\varPhi(\xi,\eta,\zeta;x_0) \] mit \[ \varPhi=\frac {1+\dfrac g{c^2}(\xi+2x_0) +\dfrac{g^2}{2c^4}(\eta^2+\zeta^2)} {\left\{\xi^2+\eta^2+\zeta^2 +\dfrac g{c^2}(\xi+2x_0)(\eta^2+\zeta^2)+ \dfrac{g^2}{4c^2}(\eta^2+\zeta^2)^2\right\}^{\frac12}}\,, \] wobei \((x_0, y_0, z_0)\) den Quellpunkt bedeutet und \[ \xi = x - x_0,\quad \eta = y - y_0,\quad \zeta = z - z_0 \] gesetzt sind.