Energieaustausch nach der Wellenmechanik. (Q1446885)

I. Man verdankt \textit{Schrödinger} eine gänzlich neuartige Interpretation der quantenhaften Vorgänge, dahinzielend, daß das atomare Geschehen zu verstehen sei auch ohne die Annahme irgendwelcher elementarer Unstetigkeiten -- im schroffen Gegensatz zu den bisherigen Vorstellungen der Physiker. Die vorliegende Untersuchung scheint berufen, diese Auffassung weiter zu stützen. Die Ergebnisse der Arbeit werden aus der folgenden einfachen und wohlbekannten Tatsache hergeleitet: Wenn ein konservatives System \[ \psi(x,t)=\sum c_k\psi_k \cdot e^{\frac{2\pi i}h E_kt},\quad H\psi_k= E_k\psi_k \tag{1} \] eine kleine Störung \(r (x)\) erleidet, so bleibt (1) eine Lösung der gestörten Wellengleichung, wofern \[ \dot c_l(t)= \frac{2\pi i}h \sum_k \varepsilon_{kl}c_k l^{\frac{2\pi i}h (E_k-E_l)t},\quad E_{kl}\equiv \int r(x)\psi_k\psi_l\, dx \tag{2} \] ist. Hieraus folgt: Sind alle Eigenwerte einfach und die Störung hinreichend klein, so ist, immer von kleinen Schwankungen abgesehen, \[ \dot c_l(t)=\frac{2\pi i}h \varepsilon_{ll}\cdot c_l;\quad c_l(t)= c_l(o)\cdot l^{\frac{2\pi i}h \varepsilon_{ll}t}; \tag{3} \] d. h. (wegen \(|c_l(t)| =\text{const}\)) es finden keine Übergänge statt: Eigenwertstörung. Liegt aber ein \(\alpha\)-facher Eigenwert \(E_1 = E_2=\cdots = E_\alpha\) vor, so gilt angenähert \[ \dot c_l = \frac{2\pi i}h \sum_{k=1}^\alpha \varepsilon_{kl}c_k \quad (l=1,\,2,\,\ldots,\alpha). \tag{4} \] Es findet also ein merklicher Austausch nur zwischen den zum selben Eigenwert gehörigen Amplituden statt, und zwar so, daß dabei \[ \sum^\alpha |c_k(t) |^2 = \text{const}. \tag{5} \] wegen \(\varepsilon_{kl} = \varepsilon_{lk}\) erfüllt bleibt. II. Man führe nun dieselben Überlegungen durch für den Fall, daß zwei Systeme \((\psi_t, E_k)\) bezw. \((\varphi_l,F_l)\) zu einem System vereinigt werden. Bei verschwindender Koppelung wären die Eigenfunktionen \(\psi_k \cdot \varphi_l\) mit den Eigenwerten \(E_k + F_l\). Die in Wirklichkeit jedoch auftretende Koppelungsenergie (über die irgendwelche spezielle Ansätze nicht gemacht zu werden brauchen) bewirkt nun folgendes: Sind alle \(E_k + F_l\) hinreichend voneinander verschieden, so beeinflussen die beiden Systeme einander nicht merklich. Sei aber z. B. \[ E \equiv E_k + F_{l'} = E_{k'} + F_l \tag{6} \] (d. h. in beiden Systemen habe dasselbe ``Energieelement'' \(E_k-E_{k'}=F_l-F_{l'}\) Platz). Folglich wird zwischen den Amplituden \(C_1\) und \(C_2\) der beiden Eigenfunktionen \(\psi_k\cdot\varphi_{l'}\) und \(\psi_{k'}\cdot \varphi_l\), die zum Eigenwert \(E\) gehören, nach (4) ein Austausch eintreten, wobei jedoch nach (5) \(| C_1(t)|^2+ |C_2(t) |^2\) konstant bleibt. ``Offenbar hat man nun z. B. ein Anwachsen von \(| C_1 |\) auf Kosten von \(| C_2|\) so zu deuten, daß in jedem Teilsystem für sich die Amplitude von \(\psi_k\) auf Kosten der Amplitude von \(\psi_{k'}\), und die Amplitude von \(\varphi_{l'}\) auf Kosten der Amplitude von \(\varphi_l\) zunimmt. Ohne Quantenpostulate gelangt man zu einem Verhalten, das ganz so ist, als ob die Quantenpostulate zu Recht bestünden. Diese Alsob-Situation ist uns nicht neu: auch die spontan ausgestrahlten Frequenzen ergeben sich ja so, als ob die Eigenwerte diskrete Energieniveaus wären und die Bohrsche Frequenzbedingung gälte. -- Im letzten Abschnitt werden wir den hier besprochenen Alsob-Situationen eine weitere hinzufügen.'' III. Den Gleichungen (4) läßt sich keine Aussage über die durchschnittliche Verteilung der Amplitude bei langdauernder Wechselwirkung entnehmen: wie die Rechnung lehrt, hängen die Zeitmittelwerte der \(| c (t) |^2\) von den Anfangswerten ab. Um zu statistischen Aussagen zu gelangen, ist also eine Hypothese über die a-priori-Wahrscheinlichkeit der Anfangswerte notwendig. Man fragt insbesondere, wie es mit den zum selben mehrfachen Eigenwert gehörenden Amplituden bestellt ist. Bedenkt man, daß diese nur bis auf eine lineare orthogonale Transformation bestimmt sind, so muß man notwendig fordern: die statistischen Mittelwerte der zu einem mehrfachen Eigenwert gehörenden \(|c|^2\) sind einander gleich; es wird also jede Teilsumme proportional der Anzahl der Summenglieder. -- Es ist erstaunlich, was für weitgehende Folgerungen sich aus dieser fast selbstverständlichen Forderung ziehen lassen. IV. Im Gesamtsystem sei wie in II nur der Eigenwert (6) erregt; indessen mögen die Eigenwerte der Teilsysteme \(E_k\), \(E_{k'}\); \(F_l\), \(F_{l'}\) selbst die Vielfachheiten \(\alpha_k\), \(\alpha_{k'}\); \(\beta_l\), \(\beta_{l'}\) haben. Der Eigenwert \(E\) hat dann die Vielfachheit \((\alpha_k\beta_{l'} + \alpha_{k'}\beta_l)\). Aus III weiß man, daß \(\sum |C|^2\) der ersten Gruppe zur \( \sum |C|^2\) der zweiten Gruppe sich verhält wie \(\alpha_k \beta_{l'}\): \(\alpha_{k'}\beta_{l}\). Man überlegt leicht, daß dies auch das Verhältnis der Erregungsstärke von \(E_k\) zu derjenigen von \(E_{k'}\) ist im isoliert betrachteten ersten System. (Erregungsstärke von \(E_k=\sum|c|^2\) der Amplituden von allen zu \(E_k\) gehörenden Eigenfunktionen.) Das bedeutet: durch die Wechselwirkung mit dem fremden System wird dem an sich willkürlichen Verhältnis jener Erregungsstärken ein ganz bestimmter Wert aufgezwungen. Nun sei das zweite System ein Wärmebad, d. h. zu jedem \(E_k\) des ersten Systems (Thermometers) gebe es stets ein \(F_l\), das selbst in hohem Grade vielfach ist, so daß \(E_k + F_{l'} = E\) erfüllt ist. Dadurch wird den Erregungsstärken aller \(E_k\) des Thermometers ein ganz bestimmtes Verhältnis aufgezwungen: sie verhalten sich wie die Produkte \(\alpha_k\beta_{l'}\). Aber die Verhältnisse der \(\beta_{l'}\) lassen sich ganz allgemein bestimmen: es ist, ganz ``als ob'' das Wärmebad energiegequantelt wäre, \[ \varkappa \log \beta_{l'} = S (F_{l'}). \] Also werden, indem man \[ S(F_{l'})\equiv S(E-E_k) \approx S(E)-\frac{E_k}T \] einsetzt, die obigen Verhältnisse der Erregungsstärken des Thermometers gleich \[ \alpha_k\cdot l-\frac{E_k}T\,, \] wo \(T\) die Temperatur des Wärmebades für die Energie \(E\) bedeutet. ``Dieses Ergebnis dürfte hinreichen, um alle die wichtigen Resultate der alten Quantenstatistik glatt in die neue Theorie zu übernehmen. Daß dies möglich ist, auch ohne sich auf die Quantenpostulate zu stützen, darauf möchte ich den besonderen Nachdruck legen.''