Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik. (Q1446937)

Es sei \(\psi (x, t)\) eine Lösung der (nichtrelativistischen) \textit{Schrödinger}-Gleichung, die im Unendlichen hinreichend stark verschwindet. Man setze dann \[ \begin{gathered} \int\limits_{-\infty}^\infty x\psi\overline\psi\,dx\equiv q(t), \quad \int\psi\overline\psi\,dx=1; \tag{1}\\ \frac{ih}{2\pi}\int\frac{\partial\overline\psi}{\partial x}\psi\,dx\equiv p(t)\equiv\frac{ih}{4\pi} \int\left[\psi\frac{\partial\overline\psi}{\partial x} -\overline\psi\frac{\partial\psi}{\partial x}\right]\,dx \tag{2} \end{gathered} \] und berechne \(\dfrac{dq}{dt}\) und \(\dfrac{dp}{dt}\) unter Benutzung der üblichen partiellen Integrationen. Es ergibt sich sofort \[ \begin{gathered} \frac{dq}{dt}=\frac1m p(t), \tag{3}\\ \frac{dp}{dt}=m\frac{d^2q}{dt^2}=\int\limits_{-\infty}^\infty -\frac{\partial V}{\partial x}\psi\overline\psi\,dx. \tag{4} \end{gathered} \] Dies besagt aber: Jedesmal, wenn der Betrag \(|\psi |\) ein ausgeprägtes Maximum hat (verglichen mit der Veränderlichkeit des äußeren Feldes \(V\)), gelten die Newtonschen Bewegungsgleichungen für den Ladungsschwerpunkt \(q (t)\). -- Die anschließenden Bemerkungen über die Integration der Schrödingergleichung nach dem Muster der Wärmeleitungsgleichung sind inzwischen von C. G. Darwin (Proceedings Royal Soc. London (A) 117 (1927), 258-293; F. d. M. 53, 844 (JFM 53.0844.*)) weiter verfolgt worden.