Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. (Q1446980)

Die hier vorliegenden eigenartigen Verhältnisse sind, nachdem das Formelmaterial schon von \textit{Pauli} entwickelt war, von \textit{Weyl} wie folgt erläutert worden: Die Bedeutung der Darstellung einer physikalischen Größe \(\sigma\) durch eine Hermitesche Matrix \(s \equiv (s_{kl})\) beruht darauf, daß die reellen Eigenwerte \(s_k\) dieser Matrix die Zahlenwerte sind, welche die Größe \(\sigma\) überhaupt annehmen kann. Die zugehörige Hermitesche Form \[ S(\mathfrak x)\equiv \sum s_{kl}x_k\overline x_l,\quad |\mathfrak x|^2=1 \tag{1} \] denke man sich durch eine unitäre Transformation auf Hauptachsen gebracht: \[ S(\mathfrak x)=\sum s_k|y_k|^2, \quad|\mathfrak y|^2=1. \tag{2} \] Dann bedeuten die Zahlen \(| y_k |^2\) die Wahrscheinlichkeiten, mit denen ``im reinen Falle \(\mathfrak x\)'' die Größe \(\sigma\) den Wert \(s_k\) annimmt. (Z. B. ist der Fall \(y_1 = 1\), \(y_2 = \cdots = 0\) derjenige, in dem die Größe \(\sigma\) mit Sicherheit den Wert \(s_1\) hat.) Was heißt es nun aber, daß eine Größe \(\sigma\) ein Vektor sei, daß also zu einer gewissen Richtung mit den Kosinus \(a\), \(b\), \(c\) die Komponente \[ \sigma'=a\sigma^{(1)} +b\sigma^{(2)} +c\sigma^{(3)} \tag{3} \] gehört? Diese, zunächst sinnlose, Gleichung gewinnt einen Inhalt dadurch, daß man sie für die repräsentierenden Matrizen als gültig ansieht; \[ s'=a\cdot s^{(1)} +b\cdot s^{(2)} +c\cdot s^{(3)} \tag{4} \] ist dann die Matrix, welche die Größe \(\sigma\) darstellt, indem die Eigenwerte von \(s'\) abermals die Zahlwerte sind, deren die Größe \(\sigma'\) fähig ist. Nach Pauli gilt nun für die Komponenten des magnetischen Momentes \[ s^{(1)}=\begin{pmatrix} 1&\hfill0\\0&-1\end{pmatrix},\quad s^{(2)}=\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad s^{(3)}=\begin{pmatrix} \hfill0&i\\-i&0\end{pmatrix}, \tag{5} \] so daß nicht nur diese, sondern nach (4) auch die Matrix \[ s'=\begin{pmatrix} a&b+ci\\b-ci&-a\end{pmatrix} \tag{6} \] sämtlich die Eigenwerte \(\pm1\) haben. Die zugehörigen Hermiteschen Formen sind \[ \begin{gathered} S^{(1)}(\mathfrak x) = |x_1|^2-|x_2|^2,\quad S^{(2)} = x_1\overline x_2+x_2\overline x_1,\quad S^{(3)} = i(x_1\overline x_2-x_2\overline x_1); \tag{\text{5 a}}\\ S'(\mathfrak x)= a\cdot x_1\overline x_1 +(b+ic)x_1\overline x_2 +(b-ic)x_2\overline x_1 -ax_2\overline x_2. \tag{\text{6 a}} \end{gathered} \] Es steht nun nichts im Wege, diejenige mutare Transformation \[ \mathfrak y = U\mathfrak x \] zu finden, durch die \(S' (\mathfrak x)\) in die Gestalt \(| y_1 |^2 - |y_2|^2 \) gebracht wird. Speziell im reinen Falle \(x_1 = 1\), \(x_2 = 0\) erhält man \[ |y_1|^2=\cos^2\frac\vartheta2\,,\quad |y_2|^2=\sin^2\frac\vartheta2\,, \tag{7} \] wo \(\vartheta\) den Winkel zwischen der 1-Achse des Koordinatensystems und der Richtung \((a, b, c)\) bedeutet. Nach der obigen Erklärung heißt das: wenn \(\sigma^{(1)}\) mit Sicherheit den Wert \(+1\) hat, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß \(\sigma'\) den Wert \(+ 1\) bzw. \(-1\) habe, gleich \(\cos^2\dfrac\vartheta2\) bezw. \(\sin^2\dfrac\vartheta2\). Man pflegt dafür auch zu sagen: Wenn man einen Schwarm von Elektronen hat, deren magnetische Momente sämtlich gleichgerichtet sind, und man schaltet plötzlich ein äußeres Feld in einer um den Winkel \(\vartheta\) geneigten Richtung ein, so verhält sich die Zahl der Elektronen, die sich parallel bezw. antiparallel einstellen, wie \(\cos^2\dfrac\vartheta2 : \sin^2 \dfrac\vartheta2\).