Zur kinetischen Herleitung des Fermischen Verteilungsgesetzes. (Q1446991)

Aus dem Vorwort: ``Fermi hat sein Gesetz \[ \bar{n}_k = 1:(1+e^{\alpha+\beta\varepsilon_k})\tag{1} \] durch wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtungen aus dem auf Pauli zurückgehenden Prinzip abgeleitet, daß sich im \(k\)-ten Zustand höchstens ein Molekül befinden kann. Wir wollen nun zeigen, wie dieses Prinzip zum selben Verteilungsgesetz führen kann, wenn man eine reaktionskinetische Betrachtungsweise zugrunde legt.'' ``Es finde ein Zusammenstoß \(k', l'\to k'', l''\) statt, wobei \[ \varepsilon_{k'} + \varepsilon_{l'} = \varepsilon_{k''} + \varepsilon_{l''}\tag{2} \] erfüllt sein muß. Die a-priori-Wahrscheinlichkeit dieses Prozesses sei \(a_{''}'\); damit er aber auch wirklich stattfinden kann, muß sowohl ein Molekül im \(k'\)- wie eins im \(l'\)-Zustand vorhanden sein; dagegen darf nach Fermi ein Molekül weder im \(k''\)- noch im \(l''\)Zustand anwesend sein. Daher wird die mittlere Häufigkeit gegeben sein durch \[ A_{''}' = a_{''}'\cdot \bar{n}_{k'} \bar{n}_{l'} (1 -\bar{n}_{k''}) (1 - \bar{n}_{l''}).\tag{3} \] Postuliert man nun, daß die a-priori-Wahrscheinlichkeit für entgegengesetzte Prozesse gleichgroß ist: \[ a_{''}' = a_{'}'',\tag{4} \] so folgt für den Gleichgewichtszustand \(A_{''}'= A_{'}''\) sofort die Beziehung \[ m_{k'}m_{l'}=m_{k''}m_{l''}, \;m_k\equiv \bar{n}_k:(1-\bar{n}_k).\tag{5} \] In der üblichen Weise schließt man aus (5) und (2) \[ m_k=e^{-\alpha-\beta\varepsilon_k}, \] woraus für \(\bar{n}_k\) sofort Fermis Verteilung (1) folgt.'' Die weiteren Überlegungen beziehen sich darauf, wie man das Postulat (4) näher begründen könnte. Neuerdings hat W. Bothe (Z. f. Physik 46 (1928), 327-334; F. d. M. 54) diesen Ansatz weiter ausgearbeitet.