Zur fünfdimensionalen Darstellung der Relativitätstheorie. (Q1447047)

Bekanntlich lassen sich die Bewegungsgleichungen eines geladenen Massenpunktes als Gleichungen fünfdimensionaler geodätischer Linien schreiben in dem Raum mit \[ d\sigma^2 = \gamma_{\alpha\nu} \, dx^\alpha \, dx^\nu \qquad (\alpha, \nu = 0, 1, 2, 3, 4), \tag{1} \] wofern man \[ \gamma_{ik} = g_{ik} + \beta^2 \varphi_i \varphi_k, \quad \gamma_{i0} = \beta\varphi, \quad \gamma_{00} = 1 \qquad (i, k = 1, 2, 3, 4), \tag{2} \] oder, was dasselbe bedeutet, \[ \gamma^{ik} = g^{ik}, \quad \gamma^{i0} = -\beta\varphi^i, \quad \gamma^{00} = 1 + \beta^2 \varphi^k \varphi_k \tag{3} \] setzt. Verf. zeigt zunächst, daß diese Regeln, einen Tensor \(\gamma^{\alpha\nu}\) in einen Tensor \(g^{ik}\) und einen Vektor \(\varphi^i\) zu zerlegen, bei den Transformationen der Gruppe \[ x^{0\prime} = x^0 + \psi_0(x^1, \dots, x^4), \quad x^{k^\prime} = \psi^k(x^1, \dots, x^4) \tag{4} \] ganz allgemein gültig sind. Jeder Fünfervektor \(\sigma^\alpha\) zerfällt in \[ \sigma^k = s^k = \text{ Vierervektor}, \quad \sigma_0 \equiv \gamma_{0\nu} \sigma^\nu = \text{ Invariante}. \tag{5} \] Jeder Tensor \(\theta^{\alpha\nu}\) zerfällt nach der Regel: \[ \begin{matrix} \l \\ \theta^{ik} = T^{ik}, \quad \theta_{00} \equiv \gamma_{0\alpha} \gamma_{0\nu} \theta^{\alpha\gamma} = \text{ Invariante}, \\ \theta^{ik} = \text{Vierervektor}, \quad \theta_0^k = \text{Vierervektor}, \\ \theta^0_{0\nu} dx^\nu \text{ und } \theta_{\nu 0} dx^\nu \text{ Invarianten}. \end{matrix} \tag{6} \] Ist speziell \[ \theta^{\alpha\nu} = \theta^{\nu\alpha}, \] so kann man stets setzen \[ \theta^{ik} = T^{ik}; \quad \theta_0^k \equiv \gamma_{0\nu} \theta^{\nu k} = T^k. \tag{7} \] Endlich folgt aus (2) noch \[ \gamma = g, \tag{8} \] wo \(\gamma\) die aus den \(\gamma_{\alpha\nu}\), gebildete Determinante bedeutet. Bezeichnet ferner \(\left(\theta_\alpha^\nu\right)_\nu\) die mit den \(\gamma\) als Fundamentaltensor gebildete Divergenz eines symmetrischen Tensors, so gelten bei der Zerlegung (7) die Regeln \[ \begin{matrix} \l \\ \left(\theta_0^\nu\right)_\nu \equiv \dfrac{1}{\sqrt{-g}} \, \dfrac{\partial}{\partial x^k} \left(\sqrt{-g} \, T^k\right); \\ \left(\theta_i^\nu\right)_\nu \equiv \left(T_i^k\right)_k - \beta f_{ik} T^k + \dfrac{\beta}{\sqrt{-g}} \, \dfrac{\partial}{\partial x^k} \left(\sqrt{-g} \, T^k\right) \cdot \varphi_i \end{matrix} \tag{9} \] mit \[ f_{ik} \equiv \frac{\partial \varphi_k}{\partial x^i} - \frac{\partial \varphi_i}{\partial x^k}. \tag{10} \] Auf Grund dieser Identitäten gelingt es nun, -- und es ist dies der wesentliche Punkt der Untersuchung -- die fünf Erhaltungssätze der Feldtheorie in einheitlicher Form zu schreiben. Man bilde nämlich nach (7) einen Tensor \(\theta^{\alpha\nu}\), indem man für \(T^{ik}\) den (hypothetischen) Energie-Impulstensor der Materie im engeren Sinne setzt, während für \(T^k\) der Vektor \(\dfrac{1}{\beta} s^k\) zu setzen ist, wo \(s^k\) die Stromdichten bedeuten, während \(\theta_{00}\) noch willkürlich bleibt. Dann schreiben sich die Erhaltungssätze einfach \[ \left(\theta_\alpha^\nu\right)_\nu = 0. \tag{11} \] Auf Grund dieser Tatsache läßt sich vermuten, daß die Feldgleichungen der Gravitation: \[ R_{ik} - \frac 12 g_{ik} R + \varkappa S_{ik} = - \varkappa T_{ik} \tag{12} \] sich in der übersichtlichen Form \[ P_{\alpha\nu} - \frac 12 \gamma_{\alpha\nu} P = - \varkappa \theta_{\alpha\nu} \tag{13} \] schreiben lassen, wo die \(P_{\alpha\nu}\) den \(R_{ik}\) ganz entsprechend aus den \(\gamma\) gebildet sind. Dies erweist sich durch Ausrechnung als richtig; man hat nur \[ \beta = \sqrt{2\varkappa} \tag{14} \] zu setzen. Schließlich läßt sich auch die \textit{Schrödinger}sche Gleichung des Einkörperproblems fünfdimensional schreiben: \[ - \frac{h^2}{4\pi^2 m_0}\, \Delta U + \lambda U = 0 \tag{15} \] mit \[ \lambda = m_0 c^2 - \frac{e^2}{\beta^2 m_0 c^2}, \] und es lassen sich aus \(U\) Größen bilden, die als Folge von (15) den Gleichungen (11) identisch genügen. Indessen sind diese, wie besonders \textit{Schrödinger} hervorgehoben hat, nicht geeignet, um in die rechte Seite von (13) eingesetzt zu werden.