Über den Grad der Annäherung durch die Cesàroschen Mittel der Fourierreihe. (Q1447088)

S. Bernstein hat 1912 gezeigt, daß die arithmetischen \((C_1\)-)Mittel \(s_n^{(1)}(x)\) der Teilsummen der Fourierreihe einer Funktion \(f(x)\), die mit \(2\pi\) periodisch und \(L\)-integrierbar ist und der Lipschitz-Bedingung \(|f(x+\delta)- f(x)|<M\delta^\alpha\) für ein bestimmtes \(x\) genügt, die Funktion so approximieren, daß die Abschätzung \[ s_n^{(1)}(x)-f(x) = O\left(\frac{\log n}n\right) \;\;\text{bzw.} \;\;O\left(\frac 1{n^\alpha}\right) \] gilt, je nachdem \(\alpha = 1\) oder \(0 < \alpha < 1\) ist. Verf. wirft die Fragen auf, 1. wann sich in dem Falle von Unstetigkeiten erster Art der Approximationsgrad \(o(1)\) verbessern läßt und 2. wann sich die im Falle der Existenz von \(f(x + 0) + f(x - 0)\) sicher richtige Gleichung \[ s_n^{(\delta)}(x)- f(x) = o(1), \] bei der \(\delta >0\) und \(s_n^{(\delta)}(x)\) die \(C_\delta\)-Mittel der Teilsummen der Fourierreihe von \(f(x)\) sein sollen, verschärfen läßt. Er beweist in dieser Richtung den Satz: Wenn für ein \(\alpha > 0\) und bei \(h \to + 0\) das Integral \[ \int_0^h |f(x+2t)+f(x-2t)-2f(x)|\cdot t^{-\alpha}\,dt = O(h) \] ist, so ist für alle \(\delta \geqq \alpha\) \[ s_n^{(\delta)}(x)-f(x)=O\left(\frac{\log n}{n^\alpha}\right). \]