On certain sufficient conditions for the convergence and Cesàro summability of the allied series of a double Fourier series. (Q1447099)

Gehört zu \(f(x,y)\) die Fouriersche Doppelreihe \[ \begin{gathered} \sum_{i,j=1}^\infty [a_{ij}\cos ix\cos jy+b_{ij}\cos ix\sin jy+ c_{ij} \sin ix \cos jy+d_{ij} \sin ix \cos jy] \\ \equiv \sum (a,b,c,d,x,y)_{ij}, \end{gathered} \] so werden die Reihen \[ \sum (d, - c, - b, a, x, y)_{ij}, \;\;\sum (c, d, - a,- b, x, y)_{ij}, \;\;\sum (b, - a, d, - c, x, y)_{ij} \] als 1., 2., 3. konjugierte Reihe bezeichnet. Für ihre Konvergenz werden in genauer Analogie zu den Sätzen, die W. H. Young 1911/12 in drei Arbeiten (F. d. M. 42; 283, 285. F. d. M. 43, 325 (JFM 43.0325.*)) für die Fourierreihen einer Variablen aufgestellt hat, hinreichende Kriterien angegeben. Die Beweise sind so ähnlich denen bei einer Variablen, daß sie meist unterdrückt werden. Den Schluß bilden zwei analog gebaute Sätze über die \(C_{11}\)-Summierbarkeit der drei Reihen.