Remarque sur la divergence des séries de Fourier de fonctions continues. (Q1447102)

Der Verf. beweist, daß es stetige Funktionen gibt, deren Fourierreihe auf einer Punktmenge vom positiven Maße divergiert. Dieses Ergebnis beruht auf folgendem Hilfssatz: Ist \(s_n(x)\) die \(n\)-te Partialsumme der Fourierreihe einer stetigen Funktion, \(D^*\) die Menge der Punkte, für die \(\varlimsup\limits_{n\to \infty}s_n(x)=+\infty\), \(D\) die Menge aller Divergenzpunkte, so ist das Maß von \(D >0\), wenn \(D^*\) in \([0,2\pi]\) überall dicht ist. Nach Fejér (F. d. M. 41, 284 (JFM 41.0284.*)) gibt es aber stetige Funktionen, für die \(D^*\) überall dicht ist. Der genannte Hilfssatz ist, wie Ref. von Herrn Fejér erfahren hat, zumindest beim Verf. unbewiesen, da in dem Beweis nicht in Betracht gezogen wird, daß die \(s_n(x)\) Partialsummen einer Fourierreihe sind. Somit müßte der Hilfssatz für jede Folge stetiger Funktionen \(s_n(x)\) gelten, die in einer in \(\langle 0, 2\pi \rangle\) überall dichten Menge der Bedingung \(\lim\limits_{n\to \infty} s_n(x) = \infty\) genügen. Dies gilt aber nicht, wie durch Gegenbeispiele gezeigt werden kann.