Properties of Fourer series of almost periodic functions. (Q1447104)

Die Arbeit behandelt die Frage, inwieweit bei den bekannten Sätzen über die Fourierreihe \((FR)\) einer reinperiodischen \((rp)\) Funktion die Voraussetzung der reinen Periodizität \textit{notwendig} ist, bzw. inwieweit diese Sätze auch für fastperiodische \((fp)\) Funktionen gelten. Das Ergebnis ist, daß, abgesehen von den Existenztheoremen vom Charakter des Riesz-Fischerschen Satzes, alle wichtigen Sätze über \(FR\) auch im Falle der \(fp\) Funktionen gültig bleiben, -- allerdings nicht ganz allgemein, sondern nur unter geeigneten Einschränkungen über die Fourierexponenten \(\lambda_n\) von \(f(x)\) oder über \(f(x)\) selbst. Diese Einschränkungen sind verschiedener Art. Für die Übertragung der Konvergenzkriterien machen sie -- in Richtung auf die Tatsache, daß bei den \(rp\) Funktionen die \(\lambda_n\) eine äquidistante Punktfolge bilden -- die (recht einschneidende) Voraussetzung, daß die Punktmenge der \(|\lambda_n|\) unendlich viele Lückenintervalle hat, deren Länge oberhalb einer festen positiven Zahl liegt; oder gar -- für einige der Sätze --, daß der Abstand irgend zweier \(|\lambda_n|\) oberhalb einer solchen Zahl liegt. Dann aber sind die klassischen Kriterien von Dini, Dirichlet-Jordan, Lipschitz, de la Vallée-Poussin, Lebesgue für die Konvergenz in einem Punkte oder gleichmäßige Konvergenz in einem Intervall auch gültig für die \(fp\) Funktionen. Ebenso auch der Hardy-Littlewoodsche Satz über \(\lim \lambda_n^{-1}[|s_{\lambda_1} - f|^2 + \cdots + |s_{\lambda_n} - f|^2]\). Bei der Integration wird die Voraussetzung gemacht, daß alle \(|\lambda_n|\) oberhalb einer festen positiven Zahl bleiben. Dann ist, wenn noch \(a_0=0\), mit \(f(x)\) auch \(\int\limits_0^x f(t)\,dt\) eine \(fp\) Funktion. Für solche \(fp\) Funktionen \(f(x)\) mit \(fp\) Integral existiert auch eine konjugierte Funktion -- wenigstens wenn \(f(x)\) zu einer Stepanoffschen Klasse \(L^\sigma\) mit \(\sigma > 1\) gehört. (Für \(\sigma=1\) sind noch Zusatzbedingungen erforderlich.) Im letzten Abschnitt wird die Gültigkeit einiger Sätze von Lebesgue, Jackson, S. Bernstein über die Approximation durch trigonometrische Polynome auf \(fp\) Funktionen übertragen, wobei teils dieselben, teils geringere Einschränkungen über die \(\lambda_n\) oder gewisse Voraussetzungen darüber gemacht werden, daß \(f(x)\) auch \(fp\) Ableitungen besitzt.