Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionelles linéaires. (Q1447113)

W. H. Young bewies: Wenn für die positive ungerade ganze Zahl \(p\) die Reihe \[ \displaylines{ \rlap{\text{\indent (1)}}\hfill \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|a_n|^{1+ \frac 1p} \hfill } \] konvergiert, so ist \[ \displaylines{ \rlap{\text{\indent (2)}}\hfill \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n e^{inx} \hfill } \] die Fourierreihe einer Funktion \(f (x)\), und es ist \(|f(x)|^{1+p}\) im Lebesgueschen Sinne integrierbar (Verallgemeinerung des Fischer-Riesz'schen Satzes), sowie die Umkehrung: Wenn (2) die Fourierreihe einer Funktion \(f(x)\) ist, und wenn für die positive ungerade ganze Zahl \(p\) die Funktion \(|f(x)^{1+p}|\) integrierbar ist, dann ist (1) konvergent (Verallgemeinerung der sog. Parsevalschen Gleichung). F. Hausdorff (M. Z. 16 (1923), 163-169; F. d. M. 49, 200 (JFM 49.0200.*)) zeigte dasselbe für jedes reelle \(p > 1\), F. Riesz (M. Z. 18 (1923), 117-124; F. d. M. 49, 292 (JFM 49.0292.*)-293) für jedes reelle \(p > 1\) und für jedes beschränkte normierte Orthogonalsystem, an Stelle von \(e^{inx}\). Verf. stützt sich zur Herleitung der genannten und weiterer Sätze auf eine Konvexitätseigenschaft, des Maximums \(M_{\alpha\beta}\) des Betrages der Bilinearform \[ A(x,y)=\sum_{\mu=1}^m\sum_{\nu=1}^na_{\mu\nu}x_\mu x_\nu \] unter der Nebenbedingung \(\sum_{\mu=1}^m|x_\mu|^{\frac 1\alpha}\leqq 1\), \(\sum_{\nu=1}^n|y_\nu|^{\frac 1\beta}\leqq 1\). Mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung ergibt sich: Es ist \(\log M_{\alpha\beta}\) im Dreieck \(\alpha\leqq 1\), \(\beta\leqq 1\), \(\alpha+\beta\geqq 1\) eine konvexe Funktion des Punktes \(\alpha\), \(\beta\). Das Ergebnis bleibt richtig, wenn die Nebenbedingung durch \(\sum_{\mu=1}^m \varrho_\mu |x_\mu|^{\frac 1\alpha}\leqq 1\), \(\sum_{\nu=1}^n \sigma_\nu |y_\nu|^{\frac 1\beta}\leqq 1\) mit beliebigen positiven \(\varrho_\mu\) und \(\sigma_\nu\) ersetzt wird, und bildet den Kern für die weiteren Untersuchungen. Der Verf. betrachtet neben den Bilinearformen \(A(x, y)\) die zugehörigen linearen Transformationen und gelangt durch Grenzübergang zu Konvexitätseigenschaften eines gewissen Typus von linearen Funktionaloperationen. Spezialisierung liefert die obigen Sätze, ferner (nach einigen Modifikationen) die Analoga für Fourierintegrale (E. C. Titchmarch, Proceedings L. M. S. (2) 23 (1924), 279-287; F. d. M. 50, 201 (JFM 50.0201.*)) und Sätze des Verf. über die Konjugierten von Fourierschen Reihen. (Siehe auch Abschn. IV, Kap. 7.)