On the cardinal function of interpolation theory. (Q1447125)

Für die Interpolationsfunktion \[ C(x)=\sum_{r=-\infty}^\infty\frac{a_r\cdot\sin\left[\dfrac \pi w(x-a-rw)\right]} {\dfrac \pi w(x-a-rw)}\,, \] die für jede ganze Zahl \(r\) den Wert \(a_r\) annimmt, hat Whittaker (Proceedings Royal Soc. Edinburgh 35 (1915), 181; F. d. M. 45, 1275) den Satz angegeben: Wenn man \(C (x)\) in eine Fouriersche Reihe entwickelt, so fehlen alle Glieder, deren Perioden kleiner als \(2w\) sind. Dieser Satz bedarf einer weiteren Untersuchung. In der oben genannten Abhandlung ist ein Beispiel zu finden, bei dem \(C (x)\) gegen die Funktion \[ \frac 2{\sqrt 3}\cdot\sin\frac{\pi(x-a)}{3w} \] konvergiert. Diese Funktion läßt sich aber nicht in eine Fouriersche Reihe entwickeln, und somit hat der erwähnte Satz für diesen Fall keinen Sinn. Verf. untersucht nun, wie die \(a_r\) beschaffen sein müssen, damit der genannte Satz anwendbar ist. Er findet, daß dies dann und nur dann der Fall ist, wenn \(\sum\limits_{r=-\infty}^\infty a_r^2\) konvergiert. Es schließen sich dann einige Fragen über die Konvergenz und die Summierbarkeit der für \(C (x)\) angegebenen Reihe an.