Sur les séries de fonctions orthogonales. III. (Q1447138)

Fortsetzung der in [Fundam. Math. 4, 82--105 (1923; JFM 49.0293.01); 8, 56--108 (1926; JFM 52.0277.01)] erschienenen Arbeiten. Hier wird zunächst gezeigt, daß der im Teil I (auch von Rademacher) bewiesene Satz über die Konvergenz der Entwicklung \(\sum a_n\varphi_n(x)\) (unter der Voraussetzung der Konvergenz von \(\sum a_n (\log n)^2\)), wo die \(\varphi_n(x)\) ein Orthogonalsystem bilden, auch im Falle, wo die \(\varphi_n (x) \) gleichmäßig beschränkt sind, nicht verbessert werden kann, wenn man die üblichen Beweismethoden hierzu benutzt. Hierzu führt der Verf. quasi-orthogonale und asymptotisch orthogonale Reihen ein; die Beweismethoden sind nämlich auf die allgemeinen Reihen anwendbar und liefern denselben Satz; bei diesen allgemeineren Reihen zeigt nun der Verf. durch ein Beispiel, daß \((\log n)^2\) nicht durch eine Funktion von kleinerer Größenordnung ersetzt werden kann.