Analytic functions with assigned values. (Q1447172)

Die Bestimmung des Koeffizienten \(c_n\) der Potenzreihenentwicklung einer analytischen Funktion \[ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_nx^n, \] deren Werte an einer gegen den Nullpunkt konvergierenden Folge von Punkten \(z_n\) gegeben sind, erfordert nach dem üblichen Verfahren die sukzessive Ausführung von \(n\) Grenzübergängen. Ein einfacheres Verfahren ergibt sich aus folgendem, in der vorliegenden Note hergeleiteten Satz: Ist \[ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_nz^n \] eine analytische Funktion, und sind \(z_1,z_2,\ldots, z_n\) von einander verschiedene, in einem Kreise mit dem Mittelpunkt \(z=0\) und dem Radius \(r\) gelegene Punkte, so ist \[ \lim_{r\to 0}\sum_{\nu=1}^n \frac{f(z_{\nu})} {(z_{\nu}-z_1)\ldots(z_{\nu}-z_{\nu-1})(z_{\nu}-z_{\nu+1})\ldots(z_{\nu}-z_n)} =c_n. \]