On the polynomial convergents of power series. (Q1447178)

Eine Potenzreihe mit den Teilsummen \(s_n\) konvergiere genau im Einkeitskreis \((EK)\). Man betrachte die Folge der Beträge der Reihenglieder für ein gewisses \(|z|>1\) und wähle jene Indizes \(n_p\) aus, für die ein Element alle seine Vorgänger übertrifft. Für die entsprechende Teilfolge \(s_{np}\) der Teilsummen bewies Porter: [1] Mindestens ein Punkt des \(EK\) ist Häufungspunkt ihrer Nullstellen. [2] Wie man auch \(\delta,\varepsilon>0\) gewählt hat, es gibt in jedem Reststück \(n_p>N\) der Folge ein Element, das in wenigstens einem Punkte der \(\varepsilon\)-Umgebung eines gegebenen Punktes des \(EK\), \(|z|=1\), einen Betrag \(<\delta\) hat. Die Aussage [1] wurde von Jentzsch dahin verschärft, daß jeder Punkt des \(EK\), \(|z|=1\), Häufungspunkt der Nullstellen aller \(s_n\) ist. In dieser Note wird aus [2] durch genaue, aber nicht schwierige Abschätzung gezeigt, daß dies auch schon für die Portersche Folge gilt. Der Beweis beruht auf dem sog. \(a\)-Stellen-Satz, von dem man durch ein irrtümliches Zitat abgelenkt wird. Es ist (statt Acta Math. 40 (1916)) A. Hurwitz, Math. Ann. 33 (1889), 345-352 (F. d. M. 21, 479 (JFM 21.0479.*)) zu nennen, was hier auf Wunsch des Verf. berichtigt sei.