Sur un théorème de M. Hadamard relatif à la multiplication des singularités. (Q1447203)

Der Verf. formuliert den folgenden Satz inkl. Beweisskizze, der eine bemerkenswerte Antwort auf ein seit Jahren offenes Problem darstellt. Es sei \(z=1\) ein singulärer Punkt der im Einheitskreis konvergenten Reihe \[ f(z) = a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots. \] Wenn \(f(z)\) sich in einem genügend kleinen Kreise mit \(z=1\) als Zentrum, ausgenommen die Punkte der reellen Achse, regulär verhält, dann werde der Punkt \(z=1\) als ``fast isoliert'' bezeichnet. Kann man die Funktion in diesem Kreise auch über die reelle Achse hinaus analytisch fortsetzen, dann werde der Punkt \(z=1\) als ``isoliert'' bezeichnet. Nun gilt der folgende Satz: Es sei \(z=1\) der einzige singuläre Punkt auf dem Konvergenzkreise der beiden Reihen \[ f(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 +\cdots \quad\text{und}\quad g(z) = C_0 + C_1z + C_2z^2 +\cdots \] und zwar für \(f(z)\) ein fast isolierter und für \(g(z)\) ein isolierter singulärer Punkt. Dann ist er auch ein singulärer Punkt für die Funktion \[ H(f, g) = a_0C_0 + a_1C_1z + \cdots. \] Der Verf. zeigt durch Beispiele, daß es nicht genügt, den Punkt \(z=1\) für beide Funktionen als fast isoliert vorauszusetzen.