Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Lückensatzes. (Q1447207)

Im Mittelpunkt der Arbeit steht der folgende Satz 3: Es sei \(C_0, C_1, C_2, \ldots\) eine komplexe Zahlenfolge mit \[ \lim_{n\to\infty}|\root n\of{b_n}|=0. \] Es sei \(f(x)\) eine analytische Funktion, und man setze \[ f^*(z)=b_0f(z)-\frac{b_1}{1!}f'(z)+\frac{b_2}{2!}f''(z)-+\cdots. \] a) \(f^*(z)\) ist eine im ganzen Existenzgebiet von \(f(z)\) reguläre analytische Funktion. b) Jeder zugängliche singuläre Punkt von \(f(z)\) ist auch für \(f^*(z)\) singulär. Ein singulärer Punkt \(s\) einer analytischen Funktion wird als ``zugänglich'' bezeichnet, wenn es möglich ist, eine offene Kreisfläche mit \(s\) als Zentrum und einen Durchmesser dieses Kreises so zu wählen, daß derjenige Zweig von \(f(z)\), der in \(s\) singulär wird, in einem der beiden Halbkreise und zugleich auf einem der beiden Radien regulär bleibt. Aus diesem Satz folgt einerseits mit Hilfe eines Satzes von Valiron der Satz 1, zu dem schon Vorarbeiten von Ritt vorlagen: Es seien \(c_1, c_2,\ldots\), \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots\) zwei Folgen komplexer Zahlen mit \(\lambda_j\neq \lambda_k\) für \(j\neq k\), \(|\lambda_1|\leqq|\lambda_2|,\ldots\); man bilde \[ c_1e^{-\lambda_1z}+c_2e^{-\lambda_2z}+\cdots. \] Wenn \(\lim\limits_{n\to\infty}\lambda_n^{-1}n=0\) ist, so ist das Existenzgebiet einer durch die obige Reihe darstellbaren Funktion konvex. Andererseits ergibt sich durch Kombination mit einem bekannten Satz von Ostrowski der Satz 6: Die Anzahl der nichtverschwindenden unter den ersten \(n\) Koeffizienten einer Potenzreihe sei mit \(t_n\) bezeichnet. Wenn \(\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{t_n}n=0\) ist, so stellt die Potenzreihe eine eindeutige Funktion dar, deren Existenzgebiet einfach zusammenhängend ist. Satz 6 spielt eine Rolle beim Hadamardschen Multiplikationstheorem. (Vgl. das vorhergehende Referat.)