Sur les singularitées des séries lacunaires. (Q1447209)

1. Wenn \(f(z)= a_0+a_1z +\cdots\) für \(|z|<1\) regulär ist und auf \(|z|=1\) nur algebraisch logarithmische Singularitäten hat, so gibt es zwei nicht negative ganze Zahlen \(p\) und \(q\), eine positive Zahl \(a\) und eine reelle Zahl \(\alpha\), so daß für hinreichend großes \(n\) \[ \operatorname{Max}(|a_n|, |a_{n-1}|,\ldots,|a_{n-p}|)> an^{\alpha-1}(\log n)^q. \] 2. Die Zahlenfolge \(0, 1, 2,\ldots\) sei in zwei Klassen \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots\) und \(\mu_1,\mu_2,\ldots\) eingeteilt. Es sollen die Reihen \[ a_1z^{\lambda_1}+a_2z^{\lambda_2}+\cdots \quad\text{und}\quad b_1z^{\mu_1}+b_2z^{\mu_2}+\cdots \] beide den Einheitskreis zum Konvergenzkreis haben. Entweder hat dann die eine mehr als einen singulären Punkt auf dem Einheitskreis, oder es hat die andere dort keinen Pol.