Some configurations of points on a circle. (Q1447229)

Die Potenzreihe \(f(z) =\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nz^n\) habe einen Konvergenzkreis mit endlichem Radius. Mandelbrojt und Ostrowski (F. d. M. 50; 234, 241) haben sich mit den singulären Punkten von \(f(z)\) auf dem Konvergenzkreis beschäftigt. Es sei \(p\) irgendeine natürliche Zahl, und es sollen in der Potenzreihe alle die Koeffizienten verschwinden, die einer bestimmten Restklasse modulo \(p\) entsprechen. Dann hat \(f(z)\) mindestens zwei singuläre Punkte auf dem Konvergenzkreis. Ist ferner \(\alpha\) ein solcher Punkt, so gibt es auf dem Kreis einen zweiten singulären Punkt \(\beta\) derart, daß \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) eine \(p\)-te Einheitswurzel ist. -Nimmt man an Stelle von \(p\) die \(r\) natürlichen Zahlen \(p_1, p_2,\ldots,p_r\), die sämtlich paarweise zueinander teilerfremd sind, und überträgt man die Eigenschaften von \(f(z)\) für den erstgenannten Fall sinngemäß auf den vorliegenden, so kann man zu jedem singulären Punkt \(\alpha_1\) auf dem Konvergenzkreis \(2^r-1\) weitere, voneinander verschiedene singuläre Punkte \(\alpha_2, \alpha_3,\ldots, \alpha_{2^r}\) auf dem Kreis derart finden, daß jeder Quotient \(\dfrac{\alpha_1}{\alpha_i}\), \(i=2, 3,\ldots, 2^r\), eine Einheitswurzel in bezug auf eine der Zahlen \(p_1, p_2,\ldots, p_r\) ist. Diese singulären Punkte werden nach einem bestimmten Prinzip geordnet, und man definiert dadurch eme ``geordnete Punktkonfiguration'', die zu der Zahlenmenge \((p_1,p_2,\ldots,p_r)\) gehört. Es gilt nun der Satz: Wenn \(p\) eine natürliche Zahl ist, \(\varepsilon\) eine primitive \(p\)-te Einheitswurzel und \(\varPi\) eine abgeschlossene Punktmenge auf dem Einheitskreis und zwar derart, daß die Punktmenge \[ \varPi_p= \varPi+\varepsilon\varPi+\varepsilon^2\varPi+\cdots+\varepsilon^{p+1}\varPi \] die Peripherie des Einheitskreises vollständig überdeckt, dann gibt es zwei Punkte der Menge \(\varPi\), deren Verhältnis (d. h. das Verhältnis der ihnen entsprechenden komplexen Zahlen) eine \(p\)-te Einheitswurzel ist. Verf. betrachtet nun drei Zahlen \(p\), \(q\), \(r\), die paarweise zueinander teilerfremd sind, und bildet die entsprechenden Punktmengen \(\varPi_p\), \(\varPi_q\), \(\varPi_r\) von denen jede den Einheitskreis vollständig überdeckt. Es wird nun untersucht, ob in der Menge \(\varPi\), die für alle drei Zahlen \(p\), \(q\), \(r\) dieselbe sein soll, geordnete Punktkonfigurationen enthalten sind. Wählt mau nur zwei von den Zahlen, etwa \(p\) und \(q\), so enthält die Menge \(\varPi\) eine geordnete Konfiguration von vier Punkten. Wählt man drei Zahlen \(p\), \(q\), \(r\), so kann man sie so wählen, daß sich sechs zu \(\varPi\) gehörige Punkte derart finden lassen, daß sie zusammen mit zwei anderen Punkten des Einheitskreises eine geordnete Konfiguration von acht Punkten bilden.